空间中的平行关系（一）

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空间中的平行关系（一）

上一讲我们陈述了空间中直线、平面间的位置关系，其中“平行”是一种非常重要的关系，值得我们特别关注．不过，我们对“平行”的认知还仅停留在简单描述的定义层面——直线与平面平行就是直线与平面没有公共点，平面与平面平行也是它们没有公共点．这一讲我们将要学习如何判定一条直线与一个平面平行（两个平面平行）以及一条直线与一个平面平行（两个平面平行）会有什么样的性质．

直线与平面的平行关系

该怎样判定直线与平面平行呢？

根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限伸长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？

我们无法触及无限，一一查验．我们需要一个易于操作的判定方式．

直线与平面平行的判定定理

证明

直线与平面平行的判定定理告诉我们，可以通过直线间的平行，推证直线与平面平行．这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面平行关系（空间问题）转化为直线间平行关系（平面问题）．今后若证明一条已知直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行即可．

例题

总结：运用直线与平面平行的判定定理的关键是在平面内找寻一条直线与已知直线平行，也可直观地看作将已知直线平移使之落入到平面内．找寻平行直线（平移）的途径有三角形的中位线、梯形的中位线、平行四边形（菱形，矩形，正方形）的对边、平行线的诸多判定方式等，这里会涉及一些平面几何知识．

由上一讲例4（2）（3）知，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线平行或者异面．那么，该如何找到（作出）那些与已知直线平行的直线呢？

直线与平面平行的性质定理

证明

直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行．通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的重要方法．

例题

注：以上解答以“BF∥平面AEC”为条件推出F为棱PC的中点，且推理过程步步可逆，这就从两个方面回答了原问题——符合题意的点F不仅存在，而且还是唯一的．但现行考试对此类探索性问题的解答却没有这么高的要求，推理方式往往是先猜后证．例如此题，可以先猜测F是棱PC的中点（这需要较强的直观感知力和好的运气），再证明中点F符合题意即可．这样的过程其实不够严谨，只证明了“存在性”，却没有解决“唯一性”．

结语

    直线与平面平行的判定定理是由直线与直线的平行得到直线与平面的平行（简称“线线平行”→“线面平行”），直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到直线与直线平行（简称“线面平行”→“线线平行”）．这种直线与平面的位置关系同直线与直线的位置关系的相互转化是立体几何的一种重要的思想方法．

附录

人教A版必修2教材2.2.3节“直线与平面平行的性质”的开始部分有2个思考题，其中第二个如下：

（2）教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？

本节的正文中给出了答案：……我们只需由灯管两端向地面引两条平行线，过两平行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线．

这利用了直线与平面平行的性质（可参见本讲例4），但笔者想问：如何由灯管两端向地面引出两条平行线呢？

你可能会说：在灯管两端绑两根细线，引下来与地面相交，看着大致平行就可以了．

凭肉眼，判断同一平面内两条直线是否平行还凑合，放在空间里就实在难以把握，况且数学里容不得“看着”、“大致”等含糊的词汇．课本虽告诉了我们答案，但只是理论上的，轮到具体操作，还要靠读者自己开动脑筋．

有人想出妙招：在灯管两端悬挂两个铅垂，均刚好与地面接触，铅垂受重力作用自然下垂，两条悬线都和地面垂直，故它们平行．两条平行线引出来了！

这个方法很好，但仔细一想，也有破绽之处：铅垂为什么会下垂？因为受重力，重力的方向均指向地心．既然如此，若把两根悬线延长，则必相交于地心，故它们仍然是两条相交线，不平行！

注：笔者曾就这个问题给人民教育出版社发送邮件询问（同时询问的还有必修1和选修4-5中的几处问题），得到回复如下：

杨老师，您好．非常感谢您的来信．关于您来信中提到的数学1中的问题，我们会认真核实，如果确实有问题，会在新版修订中进行改正．其他册的问题，会有相关人员给您回复．祝好！人民教育出版社中学数学室

    也不知道这次的新版教材是否修改了这个问题．