2019高考100题之060(直线的参数方程)

       极坐标与参数方程选做题你可以不选，但是必须会做，我觉得多学这一点不会给你备考增加负担，反而会让你对三角函数、解析几何知识有更深的认识.

       有一部分题是可以转化为普通方程来解决的，但我们必须透彻理解参数方程与极坐标存在的价值，即使我们学的只是皮毛.

       高考主要考四类题：直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程、极坐标.

       今天来看第一类：

       分析：

       对于过点P(a,b)，倾斜角为θ的直线l的参数方程：

x=a+tcosθ

y=b+tsinθ

（参数t∈R）

       我们要知道以下几点：

       1.若点A所对应的参数为t₁，即A点坐标为(a+t₁cosθ ,b+t₁sinθ),则|PA|=|t₁|.

       2.直线l的参数方程不唯一，也写可以写成：

 x=a+tmcosθ

y=b+tmsinθ

（参数t∈R,常数m≠0）

       此时若点A所对应的参数为t₁，即A点坐标为(a+t₁mcosθ ,b+t₁msinθ)，则|PA|=|mt₁|.

       我们一般都写成第一个形式，但是也有时候题干中给的是第二种形式，比如： x=1+2t，y=2+3t参数t∈R)，如果愿意你可以将t前面系数分别除以√(2²+3²)，如果不除，只要你知道上述蓝色字体的结论，也不会影响你做题.

       3.针对第一个参数方程，若点A所对应的参数为t₁，即A点坐标为(a+t₁cosθ ,b+t₁sinθ)，点B所对应的参数为t₂，即B点坐标为(a+t₂cosθ ,b+t₂sinθ).

       则|PA|·|PB|=|t₁t₂|，|AB|=|t₁-t₂|.

    若A、B在P点同侧，t₁与t₂同号，则 |PA|+|PB|=|t₁+t₂|.

    若A、B在P点异侧，t₁与t₂异号，则 |PA|+|PB|=|AB|=|t₁-t₂|.

       千万不要看到 |PA|+|PB|就想到 |t₁+t₂|.

  AB中点坐标为(a+[(t₁+t₂)cosθ]/2 ,b+[(t₁+t₂)sinθ]/2)，即AB中点对应的参数为(t₁+t₂)/2.

       对于上题，利用直线参数方程的做法如下：

       这个第二问的做法是很简洁漂亮的.

       不过由垂径定理，如图，可以很快就说明P点在以(0,-√2/2)为圆心，√2/2为半径的圆上：

       题干中并没有要求用α作为参数，所以只要求出两个圆的交点为(√2/2,-√2/2)，写出P点轨迹的参数方程为：x=√2cosβ/2,y= -√2/2+√2sinβ/2,参数β∈(0,π).

       这个做法也很简单，只不过失去了对直线参数方程的应用.