2019高考100题之068(解三角形5)

       分析：

       前天写完这道题后：

       有位同学在公众号上给我发来了如下做法，然后问我怎么舍.

       他的这个做法我是准备今天写上面那道北京高考题时要说一下的，正好这位同学就发过来了，我们来看看问题出在哪儿.

       他是在ΔACD中来解决的，如果单纯看下面这道题：

     在ΔACD中，已知AC=2，∠CAD=π/6，CD=2√7/5，求AD.

       这道题就是在三角形中已知SSA，求第三条边的问题，利用余弦定理是没有任何问题的，解出几个答案就是几个答案.

       我们也可以画出如下图来判断解的个数：

       因为1<2√7/5<2，所以D点可以在两个不同的位置，关于CE对称，D角可以取锐角或其补角.

       对于SSA(其中角为锐角)问题，如果仅仅是判断解的个数，上图是最快的办法.

       现在问题是，上题属于SSA吗？

       显然不是，因为BC=√7，所以角C也是定值，在ΔABC中由余弦定理解得cosC=√7/14，所以sinC=3√21/14.

       所以ΔACD中的已知条件是两个角和一条边，显然利用正弦定理更方便.

       在ΔACD中利用正弦定理得:

       AD/sinC=2CD，所以AD=6√3/5.

       所以上述做法不是好的做法，究其原因就是一开始没有分析好三角形的已知条件.

       再回到上述北京题.

       由sinB=sin2A=2sinAcosA可得:

       b=2acosA，所以cosA=√6/3.

      然后很多同学会误以为ΔABC仅仅是SSA，利用余弦定理解出c=3或5，然后两个答案都要.

      3和5都要显然是错误的，其实题干中给了∠B=2∠A，所以∠A已知，那么∠B也是已知的，∠C也是已知的，所以该三角形是AAAS，而不是SSA.

       所以在解三角形的时候，已知条件的分析是最最重要的，然后才能决定选取哪个方案最快捷.