2019高考100题之080(立体几何2)

       分析：

       用任意一个平面去截一个正方体，得到截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形.

       三角形：

       如图所示，一个平面只与正方体的六个面中共顶点的三个面相交，得到三角形EFG，该三角形是锐角三角形，可以设DE=a,DF=b,DG=c，然后求出EF,FG,GE，利用余弦定理证明该结论；

       也可以过D作DM垂直EF交EF于M，然后证明GM垂直于EF，然后可得∠GEF和∠GFE为锐角，同理可得∠EGF为锐角，由此我们还能知道点D在面EFG上的射影是三角形EFG的垂心.

       理科同学也可以通过向量证明上述结论.

       三棱锥G-EDF是高考中最高频出现的几个多面体之一，常和三视图、外接球联系到一起.

       四边形：

       一个平面只与正方体六个面中的四个面相交，当剩下的两个面相对的时候，如上图，由面面平行的性质，可知所得到的四边形EFGH一定为平行四边形.

       当剩下的两个面相邻时，如上图，当EH≠FG时，四边形EFGH为梯形，EF和GH相交，交点在直线DD₁上；当EH=FG时，四边形EFGH为矩形，EF//GH//DD₁，这两题图就是昨天介绍的结论.

       五边形：

       一个平面只与正方体六个面中的五个面相交，产生五边形，如上图，同上面四边形一样，我叙述一下我在几何画板中作这个图的过程，首先取M,E,H，然后过E作EF//MH交AD于F，过H作HG//ME交AB于G，大家应该明白了该五边形的特征了.

       曾经有一道题，让证明该五边形不是正五边形，其实由这两对边平行是很好说明的.

       六边形：

       一个平面与正方体六个面都相交，产生六边形，其中特殊的，当该平面垂直于正方体一条体对角线且经过棱的中点时，得到正六边形， 在2018高考全国1卷数学试题分析的12题中，对该问题作了介绍.