2019高考100题之087(立体几何9)

       分析：

       对于理科同学来说，线面角以及二面角不能死在空间向量上，对它们的定义必须很熟悉，对于一些没必要引入向量的题要当机立断用几何法做出来，当然现在说这个有点晚了，有的同学可能只会使用向量法，这么短的时间也不强求了.

       不过我们还是要通过图形来回忆一下这两个角：

       1.如下图，PO⊥面α，垂足为O，A点在α上，当A为O时，PA垂直面α；当A不是O时，PA和面α所成的角为∠PAO.

       所以线面角最核心的问题是线上一点作面的垂线.

       2.如下图，二面角A-BC-D，AD⊥面BCD，DE⊥BC于E，连接AE，则∠AED为二面角A-BC-D的平面角.

       所以二面角核心的也是一个面上一点作另一个面的垂线.

       有了向量，让我们产生了依赖性，导致我们的空间想象能力下降了，甚至遇到简单的题也不敢尝试.

       比如上面的题，如下图，取AD中点O，连接OC，易得PO垂直面ABCD，不妨设AB=1，则BC=1，OC=1，PO=√3.

       要研究BM与面ABCD所成的角，只需过M作面ABCD的垂线，垂足为N，显然N落在CO上，由BM与面ABCD所成的角为45度，得MN=BN，设MN=x，则可得CN=x/√3，所以1²+(x/√3)²=x² ,解得x=√6/2，而N到AB的距离为1，所以二面角M-AB-N的大小的正切值为√6/2，所以余弦值为2/√10.

       如果采用向量法，这儿有个问题我想给大家提个醒，也是很多参考答案的做法中我看不上的地方，就是需不要要把M点的坐标表示出来？

       以O为原点建系，B,C,P的坐标很容易，可以设向量CM等于λ倍的向量CP，这个时候很多同学就会把M点坐标写出来，然后再求向量BM的坐标，这看似不起眼转圈圈，第一耽误时间，第二容易犯错.

       其实向量BM就等于向量BC加上λ倍的向量CP即可，M点坐标是没有求出来的必要的.

       上述文科题和昨天的题很像，我就不赘述了，如下图，求出x即可.