高中数学：利用均值不等式求最值的方法

均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。

 

一、配凑

1. 凑系数

例1. 当时，求的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当且仅当

，即x＝2时取等号。

所以当x＝2时，的最大值为8。

小结：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项

例2. 已知

，求函数

的最大值。

解析：由题意知

，首先要调整符号，又

不是定值，故需对

进行凑项才能得到定值。

∵

∴

当且仅当

，即

时等号成立。

小结：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

3. 分离

例3. 求

的值域。

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当

，即

时

（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

当

，即

时

（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。

 ∴

的值域为

。

小结：分式函数求最值，通常化成

，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

二、整体代换

例4. 已知

，求

的最小值。

解法1：不妨将

乘以1，而1用a＋2b代换。

当且仅当

时取等号，由

即

时，

的最小值为

。

解法2：将

分子中的1用

代换。

小结：本题巧妙运用“1”的代换，得到

，而

与

的积为定值，即可用均值不等式求得

的最小值。

三、换元

例5. 求函数

的最大值。

解析：变量代换，令

，则

当t＝0时，y＝0

当

时，

当且仅当

，即

时取等号。

故

。

小结：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方

例6. 求函数

的最大值。

解析：注意到

的和为定值。

又

，所以

当且仅当

，即

时取等号。

故

。

小结：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

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