利用空间向量证明平行与垂直，用向量证明立体几何问题有两种思路

【考试要求】

1.理解直线的方向向量及平面的法向量；

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；

3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；

4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；

5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；

6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

【知识梳理】

1.直线的方向向量和平面的法向量

【微点提醒】

1.平面的法向量是非零向量且不唯一.

2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.

3.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.

4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.

【规律方法】

(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.

(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.

【规律方法】

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.

(2)用向量证明垂直的方法

①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.

②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.

③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.

考点三　用空间向量解决有关位置关系的探索性问题

角度1　与平行有关的探索性问题

【规律方法】　解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理.

(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.

【反思与感悟】

1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.

2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直.

【易错防范】

1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.

2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.