利用轴对称求最值（4）---将军遛马模型

两定两动

导读

本期我们在前三节的基础上进一步学习利用轴对称求最值问题中的另外一种类型---两动两定模型，此类型属于将军饮马问题系列延伸，在将军饮马问题的基础上增加了附加条件。希望你能通过今天的学习，进一步加深对将军饮马问题的理解，学会将未知的问题通过所学知识转化为我们熟悉的问题，同时进一步体会轴对称在求最值问题中的应用。

【学习目标】

（1）通过本节课的学习，我们要知道什么是将军2马模型？它和将军饮马模型的联系和区别是什么?它们之间能不能进行转化？

（2）学会寻找题目中的隐藏条件，针对两定两动问题，他在分析过程中用到了什么样的方法？

（3）理解转化思想方法在数学和实际问题中的应用，学会举一反三，灵活变通。

【知识回顾】

    唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题.

    如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?

【问题解决】

首先将这个问题，抽象成一个数学问题，如图，在线段l的同侧有两个定点A、B,在直线l上有一个动点P,即当点P在何处时，AP+BP最小.

如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的.

如果将军在河边的另外任一点P饮马，所走的路程就是AP+PB，但是，AP+PB=A'P+PB>A'B=A'C+CB=AC+CB.可见，在C点外任何一点P饮马，所走的路程都要远一些.

这有几点需要说明的:

(1)由作法可知，河流l相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A'D。

(2)由上一条知:将军走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点之间，线段最短，所以C点为最优的地方。

方法总结

在此问题中，涉及到两个定点A,B,一条定直线l以及直线上的一个动点P,故可以将这个问题称为“两定一动”求最值问题。

解决思路：

（1）先找到动点所在的直线，然后观察两个定点是否在直线同侧，如果在同侧，选择其中一个点如点A，将它关于直线L对称得到A',然后连接A'B,则A'B的长度就是最小值；

（2）第二步，就是涉及到如何计算的问题，方法是我们可以构造直角三角形，利用勾股定理解决，或者如果给了坐标，可以使用两点间的距离公式，如果图形中存在比例，也可以考虑三角形相似或者三角函数计算。

下面我们开始学习今天的内容,在学习之前，请你拿出笔记本，做好记笔记的准备，在观看视频的过程中，可能需要随时暂停进行思考，视频中共出现了3道例题和2道练习，需要你在课后思考完成过程书写！记得要规范书写哦！！

点击观看视频

通过上面视频的学习，你掌握将军遛马模型了吗？在实际应用中，有些题目直接可以联想到该模型，但是有的题目比较隐蔽，需要我们结合所学知识进行推理论证，例如联想到相似，勾股定理，设未知数等，有时还会出现几种类型同时考查的练习，在后面的讲解中，将陆续给大家分享。

【学习过程呈现】

【学习建议】

在学习完视频后，一定要做一些练习题目，如果你认为听懂了就是会了，弄明白了，那你就错过了最佳的时机，要记住，听懂了不等于会了，因为你好不熟练，给你举一个例子吧，例如刚开始你看完视频，做例题可能需要5分钟，但是做后边的练习你却用了20分钟，那么你还差得远，还需要加强同类型的思考，一段时间的练习后，记得要回顾所学知识，如果第二次做同类型的题目时，你依然需要5-10分钟，那你还要继续加强练习，达到什么地步就可以了呢?你一定要记住，学习需要反复，忘记了不要紧，及时回顾，在忘记了，在回顾，等到你真正弄明白为什么的时候，做题的速度和正确率就上去了，搞定这类问题就不那么难了。一定要刻意培养自己思考的能力，举一反三，灵活变通的能力。

【写在文末的一段话】

利用轴对称的性质，解决生活中与最值有关的数学最值问题，方法已给各位同学整理好了，希望同学们经过学习，能够掌握最短路径的作图方法和寻找方法，并且会借助勾股定理等知识点的时候，求出最短距离的值，这个问题的解决方法，在随后的学习中，我们经常会用到，学会思考问题，学会分析问题，学以致用，是最好的理解方法之一，在应用中提高自己的学习技能，也是我们的成绩提上一层楼。最后祝各位同学学习顺利。