函数不等式的证明由于其形式多变,方法灵活,成为了近几年高考的一个热点与难点,它一般出现在压轴题的位置,解决起来比较困难.利用导数作为工具进行证明是证明函数不等式的一种常见方法,本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法,希望同学们看后有所收获,提升利用导数证明函数不等式的能力.模块1 整理方法 提升能力
对于一个未知数的函数不等式问题,其关键在于将所给的不等式进行“改造”,得到一平一曲、两曲两种模式中的一种.当出现一平一曲时,只需运用导数求出“曲”的最值,将其与“平”进行比较即可.当出现两曲时,如果两个函数的凸性相同,则可以考虑通过曲线进行隔离.由于隔离曲线的寻找难度较大,所以我们一般希望两个函数的凸性相反.当两个函数的凸性相反时,则可以寻找直线(常选择公切线或切线)实现隔离放缩,当然最理想的直线状态是该直线与轴平行或重合. 当改造的过程中出现一斜一曲时,一般要将其继续改造,要么将其化归到一边,转化为一平一曲,要么将其转化为两曲.常用不等式的生成
生成一:利用曲线的切线进行放缩
利用切线进行放缩,能实现以直代曲,化超越函数为一次函数.
生成二:利用曲线的相切曲线进行放缩
例1
例2
例3
练习巩固 整合提升
模块3 整理方法 提升能力
对于两个未知数的函数不等式问题,其关键在于将两个未知数化归为一个未知数,常见的证明方法有以下4种:
方法1:利用换元法,化归为一个未知数
方法2:利用未知数之间的关系消元,化归为一个未知数
方法3:分离未知数后构造函数,利用函数的单调性证明
方法4:利用主元法,构造函数证明
对数平均值不等式链
例1
例2
例3
例4
模块4 练习巩固 整合提升
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