求点坐标是函数题目中常见的考法之一。如何求点坐标也是一项基本技能。
总的来说可以分为两个方向:
①定义法:也可以称为几何法,往坐标轴作垂线求线段长得坐标;
②代数法:利用函数的图象与性质,联立方程组求坐标。
本文题目选自以下地区:
2019·广东、2019·丹东、2019·盐城
2019·河北、2019·天水、2019·邵阳
2019·菏泽、2019·鄂州、2019·河池
2019·荆门、2019·徐州
【中考真题】
【题目】(2019·天水)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )
A.(1,1)
B.(1,√3)
C.(√3,1)
D.(√3,√3)
【答案】B.
【分析】题目简单,但非常经典,具有代表性。过点B作x轴的垂线,求线段长得坐标。
【解析】解:过点B作BH⊥AO于H点,∵△OAB是等边三角形,
∴OH=1,BH=√3.
∴点B的坐标为(1,√3).
故选:B.
【举一反三】
1.(2019·河北)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x﹣b与y轴交于点B;抛物线L:y=﹣x²+bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D.
(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标;
【答案】解:(1)当x=0时,y=x﹣b=﹣b,
∴B (0,﹣b),
∵AB=8,而A(0,b),
∴b﹣(﹣b)=8,
∴b=4.
∴L:y=﹣x²+4x,
∴L的对称轴x=2,
当x=2吋,y=x﹣4=﹣2,
∴L的对称轴与a的交点为(2,﹣2 );
2.(2019·盐城)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是 .
【答案】解:∵一次函数y=2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B,
∴令x=0,得y=﹣1,令y=0,则x=1/2,
∴A(1/2,0),B(0,﹣1),
∴OA=1/2,OB=1,
过A作AF⊥AB交BC于F,过F作FE⊥x轴于E,
∵∠ABC=45°,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴AB=AF,
∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°,
∴∠ABO=∠EAF,
∴△ABO≌△FAE(AAS),
∴AE=OB=1,EF=OA=1/2,
∴F(3/2,-1/2),
设直线BC的函数表达式为:y=kx+b,
∴3/2 k+b=-1/2,b=-1,
∴k=1/3,,b=-1,
∴直线BC的函数表达式为:y=1/3x﹣1,
故答案为:y=1/3x﹣1.
备注:旋转45度构造三垂直的问题
3.(2019·河池)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得,则AC所在直线的解析式是 .
【答案】解:∵A(2,0),B(0,1)
∴OA=2,OB=1
过点C作CD⊥x轴于点D,
则易知△ACD≌△BAO(AAS)
∴AD=OB=1,CD=OA=2
∴C(3,2)
设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A,点C坐标代入得
0=2k+b,2=3k+b
∴k=2,b=-4
∴直线AC的解析式为y=2x﹣4.
故答案为:y=2x﹣4.
备注:旋转90°的坐标
4.(2019·邵阳)如图,将等边△AOB放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点B在第一象限,将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′,则点B′的坐标是 .
【答案】解:作BH⊥y轴于H,如图,
∵△OAB为等边三角形,
∴OH=AH=2,∠BOA=60°,
∴BH=√3OH=2√3,
∴B点坐标为(2√3,2),
∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′,
∴点B′的坐标是(﹣2√3,﹣2).
故答案为(﹣2√3,﹣2).
5.(2019·鄂州)如图,已知抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点,AB=4,交y轴于点C,对称轴是直线x=1.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)连接BC,E是线段OC上一点,E关于直线x=1的对称点F正好落在BC上,求点F的坐标;
【答案】(2)设直线BC的解析式为y=mx+n,
则有:n=3,3m+n=0,解得m=-1,n=3,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
∵点E、F关于直线x=1对称,
又E到对称轴的距离为1,
∴EF=2,
∴F点的横坐标为2,将x=2代入y=﹣x+3中,
得:y=﹣2+3=1,
∴F(2,1);
根据对称得点的横坐标,再代入
6.(2019·菏泽)如图,直线y=-3/4x﹣3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P为圆心,以1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线AB相切时,点P的坐标是 .
【答案】解:∵直线y=-3/4x﹣3交x轴于点A,交y轴于点B,
∴令x=0,得y=﹣3,令y=0,得x=﹣4,
∴A(﹣4,0),B(0.﹣3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=5,
设⊙P与直线AB相切于D,
连接PD,
则PD⊥AB,PD=1,
∵∠ADP=∠AOB=90°,∠PAD=∠BAO,
∴△APD∽△ABO,
∴PD/OB=AP/AB,
∴1/3=AP/5,
∴AP=5/3,
∴OP=7/3或OP=17/3,
∴P(-7/3,0)或P(-17/3,0),
故答案为:(-7/3,0)或P(-17/3,0).
7.(2019·广东)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=√3/8x2+(3√3)/4x-(7√3)/8与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),点D为抛物线的顶点,点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.
(1)求点A、B、D的坐标;
【答案】解:(1)令√3/8x2+(3√3)/4x-(7√3)/8=0,
解得x1=1,x2=﹣7.
∴A(1,0),B(﹣7,0).
由y=√3/8x2+(3√3)/4x-(7√3)/8=√3/8(x+3)2﹣2√3得,D(﹣3,﹣2√3);
备注:根据函数列方程求坐标
8.(2019·丹东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-1/2x2+bx+c与x轴交于B,C两点,与y轴交于点A,直线y=-1/2x+2经过A,C两点,抛物线的对称轴与x轴交于点D,直线MN与对称轴交于点G,与抛物线交于M,N两点(点N在对称轴右侧),且MN∥x轴,MN=7.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求点N的坐标.
【答案】抛物线的表达式为:y=-1/2x2+3/2x+2…①;
(2)抛物线的对称轴为:x=3/2,
点N的横坐标为:3/2+7/2=5,
故点N的坐标为(5,﹣3)
9.(2019·盐城)如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
(1)求A、B两点的横坐标;
【答案】解:(1)将二次函数与一次函数联立得:k(x﹣1)2+2=kx﹣k+2,
解得:x=1或2,
故点A、B的坐标横坐标分别为1或2;
四、难点
下题是需要根据条件建立等量关系,列方程解答的方式。也就是说求点坐标可以直接求的,也可以间接列方程求的,难易有别。
本题仍然与三角函数有关。
17.(2019·荆门)如图,在平面直角坐标系中,函数y=k/x(k>0,x>0)的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为 (3+√5)/2 .
【解答】解:过点N、M分别作NC⊥OB,MD⊥OB,垂足为C、D,
∵△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=OB=3,∠AOB=60°
∵又OM=2MA,
∴OM=2,MA=1,
在Rt△MOD中,
OD=1/2OM=1,MD=√(2^2-1^2 )=√3,
∴M(1,√3);
∴反比例函数的关系式为:y=√3/x,
设OC=a,则BC=3﹣a,NC=√3/a,
在Rt△BCN中,
NC=√3BC,
∴√3/a=√3(3﹣a),
解得:x=(3+√5)/2,x=(3-√5)/2(舍去)
故答案为:(3+√5)/2,
利用角平分线的性质作垂线,本题主要考查“双角平分线”的性质
28.(2019·徐州)如图,平面直角坐标系中,O为原点,点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上.△AOB的两条外角平分线交于点P,P在反比例函数y=9/x的图象上.PA的延长线交x轴于点C,PB的延长线交y轴于点D,连接CD.
(1)求∠P的度数及点P的坐标;
【解答】解:(1)如图,作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,PH⊥AB于H.
∴∠PMA=∠PHA=90°,
∵∠PAM=∠PAH,PA=PA,
∴△PAM≌△PAH(AAS),
∴PM=PH,∠APM=∠APH,
同理可证:△BPN≌△BPH,
∴PH=PN,∠BPN=∠BPH,
∴PM=PN,
∵∠PMO=∠MON=∠PNO=90°,
∴四边形PMON是矩形,
∴∠MPN=90°,
∴∠APB=∠APH+∠BPH=1/2(∠MPH+∠NPH)=45°,
∵PM=PN,
∴可以假设P(m,m),
∵P(m,m)在y=9/x上,
∴m2=9,
∵m>0,
∴m=3,
∴P(3,3).
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