由于最短路径问题是常见的几何最值问题,所以习惯性的把几何最值问题统称为最短路径问题了。虽然说法欠妥,但是也方便大家归类、对比学习。
进入进行的主题前,大家可以先看下面这个问题。
等边△ABC的两个顶点分别在x轴和y轴上,另一顶点A在第一象限。AB=1不变,当B、C运动时,求OA的最大值。
遇到此类问题应该怎么解决呢。
当然,我们能确定点A的运动轨迹就好了。但是多数时候我们没有工具,一下子还是确定不了的。
不过我们可以适当猜测一下什么时候距离会最大。
当然,一般都是想到特殊的时候,比如OB=OC时。因为左右偏移都不合适,所以只能取特殊的时候啦。
通过几何画板画轨迹,也确实验证了这点。
但是,同学们就说了。这样也行?好歹给个说法。
那下面就是简单的说明了,接招。
按照我们的猜测,当OB=OC时,直接连接OA即可。再取一个普通的情况进行对比。
如上图,取BC的中点M,连接OM、AM,
根据OM+AM≥OA,易得,当O、M、A三点共线时线段最长,即OB=OC的时候,OA最大。
明白了吗?
下面上中考真题:
【题1】
(2019·益阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小,当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.
(3)当点A移动到某一位置时,点C到点O的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时cos∠OAD的值.
【答案】
如图2,M为AD的中点,
∴OM=3,CM=√(CD²+DM²)=5,
∴OC≤OM+CM=8,
当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8,
连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点O作ON⊥AD,垂足为N,
∵∠CDM=∠ONM=90°,∠CMD=∠OMN,∴△CMD∽△OMN,
∴CD/ON=DM/MN=CM/OM,4/ON=3/MN=5/3,
解得MN=9/5,ON=12/5,
∴AN=AM﹣MN=6/5,
在Rt△OAN中,
OA=√(ON²+AN² )=(6√5)/5,
∴cos∠OAD=AN/OA=√5/5.
【题2】
(2019·南充)如图,矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动,顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动,点E为AB的中点,AB=24,BC=5.给出下列结论:①点A从点O出发,到点B运动至点O为止,点E经过的路径长为12π;②△OAB的面积最大值为144;③当OD最大时,点D的坐标为((25√26)/26,(125√26)/26).其中正确的结论是 .(填写序号)
【答案】②③.
【解析】
解:∵点E为AB的中点,AB=24,∴OE=1/2 AB=12,∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心,12为半径的一段圆弧,∵∠AOB=90°,∴点E经过的路径长为(90×12×π)/180=6π,故①错误;当△OAB的面积最大时,因为AB=24,所以△OAB为等腰直角三角形,即OA=OB,∵E为AB的中点,∴OE⊥AB,OE=1/2 AB=12,∴S_(△AOB)=1/2×24×12=144,故②正确;
如图,当O、E、D三点共线时,OD最大,过点D作DF⊥y轴于点F,
∵AD=BC=5,AE=1/2 AB=12,
∴DE=√(AD²+AE² )=√(5²+12² )=13,
∴OD=DE+OE=13+12=25,
设DF=x,∴OF=√(OD²-DF² )=√(25²-x² ),
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,∴∠DFA=∠AOB,∴∠DAF=∠ABO,
∴△DFA∽△AOB,∴DF/OA=DA/AB,∴x/OA=5/24,
∴OA=24x/5,
∵E为AB的中点,∠AOB=90°,
∴AE=OE,∴∠AOE=∠OAE,
∴△DFO∽△BOA,∴OD/AB=OF/OA,
∴25/24=√(25^2-x^2 )/(24x/5),
解得x=(25√26)/26,x=-(25√26)/26舍去,
∴OF=(125√26)/26,
∴D((25√26)/26, (125√26)/26).
故③正确.
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