中考数学压轴题分析——等腰直角三角形一定两动问题

前面介绍过了等腰直角三角形的两定一动的问题，今天自然就到了一定两动的问题。

本篇内容来自2019年阜新市的中考压轴题。

【中考真题】

（2019·阜新）如图，抛物线y＝ax²+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．

（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

本题中的难点为M、N均为动点。

那怎么办呢？

掌握了之前的方法，其实本题也是类似的。

先在对称轴上面确定一个点M，连接MO，再构造一个等腰直角三角形。

先设点M的坐标，再表示出点N的坐标，然后代入二次函数的解析式即可。

当然，反过来，如果先设点N的坐标，然后表示出点M的横坐标，利用二次函数对称轴为已知的可以求出未知数。

点M分为在x轴的上方或者下方进行讨论，每种情况都有两个可能，总共四种。

【答案】存在，理由：

△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：

①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，

N1的情况（△M1N1O）：

设点N1的坐标为（x，-2/3x²-4/3x+2），则M1E＝x+1，

过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，

∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，

∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，

∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，

即：x+1=-2/3x²-4/3x+2，解得：x=(-7±√73)/4（舍去负值），

则点N1（(-7+√73)/4，(-3+√73)/4）；

N2的情况（△M2N2O）：

同理可得：点N2（(-1-√73)/4，(-3+√73)/4）；

②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，

同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（(-7-√73)/4，(-3-√73)/4）、（(-1+√73)/4，(-3-√73)/4）；

综上，点N的坐标为：（(-7+√73)/4，(-3+√73)/4）或（(-1-√73)/4，(-3+√73)/4）或（(-7-√73)/4，(-3-√73)/4）或（(-1+√73)/4，(-3-√73)/4）．

【总结】

解决动点问题的关键是确定动点运动的路线，根据题目条件再进行分类讨论即可。

【城市简介】

阜新历史文化悠久。因出土世界第一玉和华夏第一龙，被誉为“玉龙故乡，文明发端”。阜新是契丹民族的摇篮、武当宗师张三丰的故里、藏传佛教的东方传播中心。大清沟、乌兰木图山、章古台、那木斯莱等天苍苍、野茫茫的边塞风光，依稀可见清代皇家牧场的昔日辉煌。阜新地热温泉是国内外少见的多微复合型珍稀医疗热矿泉。阜新玛瑙雕刻工艺品已列入国家首批非物质文化遗产。