中考数学压轴题分析——平行四边形的存在性难点分析

同样是两定两动，今天介绍的问题稍微复杂一些。但是也是比较容易解决的。

本文中考真题选自以下地区：

2019·朝阳、2019·包头

2019·贵港、2019·通辽

2019·山西、2019·孝感

2019·连云港、2019·咸宁

【中考真题】

（2019·包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．

（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

本题的两个动点并没有组成一组平行的边，情况稍微复杂一些。

不画图讨论，分为3种情况。

①BN为对角线；

②BM为对角线；

③MN为对角线。

设N（1，n），M（x，y），

思路一：

如果利用中点坐标公式，那么就可以快速的求出来。

即对角线上的两个顶点坐标的平均数相等。

如MN为对角线时，1+x=0+3，即可得出点M的横坐标。

思路二：

当然，利用平移的性质，也可以建立等量关系。

什么意思呢？

把BC向下、向右平移并使得两个点都落在对称轴和抛物线上。

此时B和C对应点分别为M和N，那么它们的坐标之差（平移的单位长度）相等。

即x-1=3-0。以此类推

思路三：

如果构造全等，也可以求出想要的结论。方法多种多样。

如上图，△MNH≌△BCO，即可得到等量关系。

【答案】存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

设N（1，n），M（x，y），

①四边形CMNB是平行四边形时，CM∥NB，CN∥MN，

1/2=(3+x)/2，

∴x＝﹣2，

∴M（﹣2，-10/3）；

②四边形CNBM时平行四边形时，CN∥BM，CM∥BN，

3/2=(1+x)/2，

∴x＝2，

∴M（2，2）；

③四边形CNMB时平行四边形时，CM∥MN，NC∥BM，

(1+3)/2=x/2，

∴x＝4，

∴M（4，-10/3）；

综上所述：M（2，2）或M（4，-10/3）或M（﹣2，-10/3）．

【真题赏析】