中考数学压轴题分析——角平分线的存在性

前面主要是接触了三角形与四边形的存在性问题。接着就是角的平分线的存在性，其实还有垂直平分线的存在性等等。

本质上都是利用图形的性质进行解题。

本文题目选自：

2019·抚顺、2019·衡阳

【中考真题】

（2019·抚顺）如图，抛物线y＝ax²+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．

【分析】

遇到角平分线，就会想到角平分线的性质。

我们可以把本题中的关键点给抽取出来。

发现既有角的平分线又有平行，那么点M与O、N就构成了一个特殊的三角形——等腰三角形。

所以点M的位置就很容易确定了。相当于转化为等腰三角形的存在性问题了。

【答案】解：抛物线的解析式为：y＝x²﹣2x﹣3．

如图1，设对称轴与x轴交于点H，

∵MN平分∠OMD，∴∠OMN＝∠DMN，

又∵DM∥ON，∴∠DMN＝∠MNO，

∴∠MNO＝∠OMN，∴OM＝ON=√2．

在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1．

∴HM=√(OM²-OH² )=√((√2 )²-1)=1，

∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．

①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x，

依题意得：x＝x²﹣2x﹣3．

解得：x_1=(3+√21)/2，x_2=(3-√21)/2，

∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，

∴Q点纵坐标y=x_1=(3+√21)/2．

∴Q_1 ((3+√21)/2， (3+√21)/2)，

②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x，

同理可求：Q_2 ((1+√13)/2，-(1+√13)/2)，

综上所述：

点Q的坐标为：Q_1 ((3+√21)/2， (3+√21)/2)，

Q_2 ((1+√13)/2，-(1+√13)/2) ．

【总结】

存在性问题主要是利用图形的性质建立等量关系。

【举一反三】