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高中数学: 空间几何体的表面积和体积
Hi老刘老师
>《高中数学》
2020.07.17
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一、空间几何体的表面积
问题
1
:有一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上一点
A
出发,沿着圆柱侧面爬行一周,到达上底面圆周上一点
B
(线段
AB
是圆柱的一条母线),问蚂蚁爬行的最短路线是多长?
平面展开图:沿着多面体的某些棱将它们展开成平面图形,这个平面图形叫做该几何体的平面展开图。
(一)棱柱、棱锥、棱台的侧面积
1
、直棱柱:侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱。其侧面展开图是一个矩形。
正棱柱:底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
◆
S
直棱柱侧
=
ch
其中
c
为棱柱的底面周长,
h
直棱柱的高。
2
、正棱锥
定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的正投影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱锥。
性质:
(
1
)正棱锥的侧棱长相等。
(
2
)侧棱和底面所成的角相等。
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的。
◆
S
正棱锥侧
=
ch
´
(其中
c
为棱锥底面周长,
h’
为侧面等腰三角形底边上的高——斜高)
3
、正棱台
定义:正棱锥被平行于底面的平面所截,截面与底面之间的部分叫做正棱台。
侧面展开图是由各个侧面组成的。
S
正棱台侧
=
(
c
+
c’
)
h’
(其中
c
,
c’
为棱台上下底面的周长,
h’
为各个等腰梯形的高,即棱台的斜高)。
(二)、圆柱、圆锥、圆台的侧面积
把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上,展开图的面积就是它们的侧面积。
1
、圆柱的侧面积
◆如果圆柱底面半径是
r
,周长是
c
,侧面母线长是
l
,那么它的侧面积是
2
、圆锥的侧面积
◆如果圆锥底面半径是
r
,周长是
c
,侧面母线长是
l
,那么它的侧面积是
3
、圆台的侧面积
◆如果圆台的上、下面半径是
周长分别是
侧面母线长是
,那么它的侧面积是
二、柱锥台的体积公式
长方体的体积公式是什么?如:某长方体的长宽高分别是
7cm,5cm
,
4cm
,其体积为多少,即为多少个正方体?
1
、祖暅原理
两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等。
2
、柱体的体积公式
3
、锥体的体积公式
4
、台体的体积计算公式
◆柱体,锥体,台体之间的关系:
5
、球体的体积公式与表面积公式
(
1
)利用祖暅原理可得
(
2
)利用极限的思想推导出球的表面积公式:
S
球面
=
4
π
R
2
典型例题
例
1.
有一根长为
5 cm
,底面半径为
1 cm
的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕
4
圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到
0.1 cm
)
解:
由题意知:
BC
=
5 cm
,
AB
=
8
,点
A
与点
C
就是铁丝的起止位置,故线段
AC
的长度即为铁丝的最短长度。
AC
=
例
2.
如图是一个奖杯的三视图,(单位:
cm
)试计算这个奖杯的体积(精确到
0.01cm
3
)。
解:
V
正四棱台
=
V
长方体
=
6
=
864
V
球
=
V
=
V
正四棱台
+
V
长方体
+
V
球
例
3.
一个圆柱形的锅炉,底面直径
d
=
1m
,高
h
=
2.3m
。求锅炉的表面积(保留
2
个有效数字)。
解:
底面半径
r
=
S
侧面积
=
cl
=
2
=
=
2.3
S
表面积
=
S
侧面积
+
S
底面积
=
2.3
+
8.7
例
4.
一个正三棱台的上下底面边长分别为
3cm
和
6cm
,高是
cm
,求三棱台的侧面积。
解:
如图
。连接
AO
并延长交
BC
于
D
,连结
,并延长交
,过
作
E
AD
于
E
DE
=
DO
-
=
,
=
S
正三棱台
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