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旋转与对称、巧解正方形
--2020安顺中考数学第25题
原题呈现
25．(2020·安顺)如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC中点．
（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是_____，位置关系是____；
（2）问题探究：如图②，△AO´E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO´的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，△AO´E是将图①中的△AOB绕点按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO´，点P，Q分别为CE，BO´的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．
02
图文解析
方法一：对称处理
由∠CAB=∠BAE，遇角平分线想轴对称，延长EO'交AC于G，延长CB、AE交点F。
由“三线合一”可证O'，B分别是EG、CF的中点，再由P是EC的中点，由三角形中位线性质有O'P=1/2GC，O'P∥GC，且PB=1/2EF，PB∥EF，易证GC=EF，所以O'P=PB，因为O'P∥GC，所以∠PO'B=∠CAB=45°，则△PO'B为等腰直角三角形，再由Q是O'B的中点，可证△PQB为等腰直角三角形。
方法二：旋转处理
延长PB、EO'交于点F，易证△CBP△EFP，则EF=BC=AB，PF=PB，又因为AO'=EO'，故FO'=BO'
故△FO'B是等腰直角三角形，再由Q是O'B的中点，可证PQ是△FO'B的中位线，故PQ∥FO'，可证△PQB为等腰直角三角形。
03
图文解析
方法一：对称处理
由正方形对称性得PB=PD，PN=PM，根据平行线分线段成比例，可得MD=MO'，再由垂直平分线的性质有PD=PO'，所以PO'=PB，进而可证△PMO'≌△PNB，于是有∠BPO'=90°，再由Q是BO'的中点，可证△PQB为等腰直角三角形。
方法二：旋转处理
延长O'P，DC交于点F，联结BF。
可证△PCF≌△PEO'，得PO'=PF，FC=O'E=O'A，进而可证得△O'AB≌△FCB，于是BO'=BF，∠O'BF=90°，再由三角形中位线性质有PQ∥BF，故△PQB是等腰直角三角形，进而可求△PQB的面积为3/16.
同样可采用以下方法处理
or
正方形处理策略
①由正方形的对称性，常用对称和旋转。
②正方形内等角多，常想共圆。
③正方形内直角多，“K”型要常记住。
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