最近几篇将逐一介绍2020年黑龙江省的中考数学几何压轴题。
本篇内容选自牡丹江中考，是倒数第3题。总体感觉难度一般，不算压轴。
但是题目考查的知识点和几何模型还是比较典型的。
因此也是非常有价值的题目，大家拭目以待吧。
【中考真题】
（2020·牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝ ．
【分析】
题（1）证明线段的和差关系，这里并不需要截长补短。
而是“角平分线+平行线→等腰三角形”。
图中MF与CF易得相等，然后进行转化即可。
题（2）是在（1）的基础上面变化而来的，所以结论的话类似。但是图②这里BC的长度是最大的，所以变成另外两个之和等于BC。而图③中最长的又变成了AE了。证明方法都差不多。
题（3）知道AE、DE的长度，那么BC的长度就知道了。再利用等量关系求出CF即可。但需要根据3个图进行分类讨论。
平行+角平分线必得等腰
【答案】解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，
即AE+BC＝CF；
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．
由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；
当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC．
如图③，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；
（3）CF＝18或6，
当DE＝2AE＝6时，图①中，由（1）得：AE＝3，BC＝AB＝BD+DE+AE＝15，
∴CF＝AE+BC＝3+15＝18；
图②中，由（2）得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD+AD＝9，
∴CF＝BC﹣AE＝9﹣3＝6；
图③中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
【总结】
等腰三角形，平行线和角平分线，知二得一。
特别是与圆有关的问题里面，经常会出现类似的图形。如下图所示。
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