中考数学压轴题分析：相似存在性问题

相似三角形的存在性问题是历年的难点，不过也不是解决不了。掌握问题的本质即可。关键就是设未知数建立比例关系。本文内容选自2020年柳州中考数学压轴题，大家可以研究一下。

【中考真题】

（2020·柳州）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的右侧），顶点为．直线与轴、轴分别交于、两点，与直线交于点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在轴右侧的抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求的值；
（3）如图②，过抛物线顶点作轴于，连接，点为抛物线上任意一点，过点作轴于，连接．当时，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似（不含全等）？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】
题（1）利用对称轴的公式代入即可求解。或者配方求解。
题（2）本质是平行四边形的存在性问题，易得A、C、D三点的坐标，那么点P的坐标也容易得到。利用平移的性质即可。再代入解析式求出a的值
题（3）一直a的值，那么就可以确定解析式，△MNE的形状与大小就确定了。由于点E的坐标也确定。那么只需表示出Q与G坐标，利用对应边成比例即可得到结论。当然，需要把点Q分为在x轴的上方和下方进行讨论。
【答案】解：（1），
抛物线的对称轴为直线；

（2）由得：，，
由得，
设直线的解析式为，
将代入中，得，
解得，
直线的解析式为，
联立方程组得，解得，
，，
，
点在第二象限，
又点与点关于原点对称，
是以、、、为顶点的平行四边形的对角线，则点与点关于原点对称，
即，，
将点，代入抛物线，解得或（舍去），
；

（3）存在，
理由如下：当时，，此时，
令，即，解得，，
点，，，
，
设点，则，
，，
又与都是直角三角形，且，
如图所示，需分两种情况进行讨论：

当时，即，
当时点与点重合，不符合题意，舍去，
当时，此时坐标为点；
当时，即，
解得或或（舍去），
当时，坐标为点，，
当，坐标为点，，
综上所述，点的坐标为或，或，