第十一部分：三角函数的值域计算
【
和
在
时值域】
【
值域】
；
‚
；
【
值域】
；
‚
。
【
和
在
时值域】
【
值域】
第一步：假设：
；根据
的取值范围计算
的取值范围。
第二步：
；
第三步：画出函数
的图像；
第四步：根据图像得到：
的取值范围；
第五步：根据
的取值范围计算
的取值范围。
【
值域】
第一步：假设：
；根据
的取值范围计算
的取值范围。
第二步：
；
第三步：画出函数
的图像；
第四步：根据图像得到：
的取值范围；
第五步：根据
的取值范围计算
的取值范围。
【三角函数值域的相关例题】
【例题一】：【2017年高考文科数学北京卷】已知函数
。
（Ⅰ）
的最小正周期；
（Ⅱ）求证：当
时，
。
【本题解析】：（Ⅰ）根据余弦函数的两角差定义得到：
；
根据三角函数的半角公式得到：
；
根据三角函数的辅助角公式得到：
。
所以：函数
的最小正周期：
。
（Ⅱ）设：
，
；
；
如下图所示：
所以：
。
【例题二】：【2017年高考理科数学新课标Ⅱ卷】函数
的最大值是
。
【本题解析】：根据三角函数的同角之间基本关系得到：
；
；
假设：
，
；
；
对称轴：
；
。
【本题答案】：
【例题三】：【2017年高考理科数学山东卷】设函数
，其中
。已知
。
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）将函数
的图像上各点的横坐标伸长为原来的
倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移
个单位，得到函数
的图像，求
在
上的最小值。
【本题解析】：（Ⅰ）根据正弦函数的两角差公式得到：
；
根据三角函数的诱导公式得到：
；
。
根据三角函数的辅助角公式得到：
。
，
。
（Ⅱ）
；
的图像上各点的横坐标伸长为原来的
倍（纵坐标不变）得到：
；
的图像向左平移
个单位得到：
。
设：
；
如下图所示：
所以：当
。
【本题答案】：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
【例题四】：【2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷】函数
的最大值为
。
【本题解析】：根据三角函数的辅助角公式得到：
；
假设：
，
。
【本题答案】：
【例题五】：【2017年高考文科数学新课标Ⅲ卷】函数
的最大值为（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：根据正弦定理的两角和公式得到：
；
根据余弦函数的两角差公式得到：
；
；
根据三角函数的辅助角公式得到：
。
【本题答案】：
【例题六】：【2016年高考文科数学上海卷第5题】若函数
的最大值为5，则常数
。
【本题解析】：根据三角函数的辅助角公式得到：
；
假设：
，
；
。
【本题答案】：
【三角函数值域的跟踪训练】
【跟踪训练一】：【2016年高考文科数学新课标Ⅱ卷第11题】函数
的最大值为
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：
【跟踪训练二】：【2015年高考理科数学天津卷】已知函数
，
。
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值。
【本题解析】：
【跟踪训练三】：【2015年高考理科数学陕西卷】如图，某港口一天6时到18时的水深度变化曲线近似满足函数
，据此函数可知，这段时间水深（单位：米）的最大值为（ ）
A、5 B、6 C、8 D、10
【本题解析】：
【跟踪训练四】：【2015年高考文科数学安徽卷】已知函数
。
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值。
【本题解析】：
【跟踪训练五】：【2015年高考理科数学北京卷】已知函数
。
（Ⅱ）求
在区间
上的最小值。
【本题解析】：
【跟踪训练六】：【2015年高考文科数学北京卷】已知函数
。
（Ⅱ）求
在区间
上的最小值。
【本题解析】：
【跟踪训练的参考答案】
【跟踪训练一】：【2016年高考文科数学新课标Ⅱ卷第11题】函数
的最大值为
（ ）
A、
B、
C、
D、
【本题解析】：根据三角函数的诱导公式得到：
；
根据三角函数的二倍角公式得到：
；
；
假设：
，
；
；
二次函数的对称轴：
，
单调递增
，
。
【本题答案】：
【跟踪训练二】：【2015年高考理科数学天津卷】已知函数
，
。
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值。
【本题解析】：
。
假设：
，
，
；
如下图所示：
所以：当
时：
；
；
。
【本题答案】：
；
【跟踪训练三】：【2015年高考理科数学陕西卷】如图，某港口一天6时到18时的水深度变化曲线近似满足函数
，据此函数可知，这段时间水深（单位：米）的最大值为（ ）
A、5 B、6 C、8 D、10
【本题解析】：
。
【本题答案】：
【跟踪训练四】：【2015年高考文科数学安徽卷】已知函数
。
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值。
【本题解析】：
。
假设：
，
，
；
如下图所示：
所以：当
时：
所以：
；
【本题答案】：
；
【跟踪训练五】：【2015年高考理科数学北京卷】已知函数
。
（Ⅱ）求
在区间
上的最小值。
【本题解析】：（Ⅱ）
。
假设：
，
；
；
如下图所示：
所以：当
时：
【本题答案】：
【跟踪训练六】：【2015年高考文科数学北京卷】已知函数
。
（Ⅱ）求
在区间
上的最小值。
【本题解析】：（Ⅱ）
。
假设：
，
，
；
如下图所示：
所以：当
时：
。
【本题答案】：
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