万物的本源是数
在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域，很快就发展起了更复杂的农业社会，这群刚进入新时代的农民还遇到了交纳租税的问题。显然，过去石器部落文化里总结的“1、2、3”已远远不够用了，人们迫切需要“数”有名称，而且计数必须更准确。
量子学派《公式之美》
我们可以从毕达哥拉斯那里首次发现，他对数学的兴趣最初并不是出于实践需要。埃及人掌握了数学知识，但只是用它来建造金字塔或丈量土地；希腊人则是“为了探索”而开始了对数学的研究。用希罗多德的话说，毕达哥拉斯是他们当中最重要的研究者。
数被认为是由单元构成，单元又由点来表示，点则具有空间度，这种观点是说，一个单元会占据一个位置，即它具有某些度，无论是什么样的度。这种数的理论在处理有理数时是很有效的，因为总是可以以这种方式选择一个有理数作为单元，任何一个有理数都是单元的整倍数。
罗素《哲学简史》
为什么大自然和数有关呢？
千万不要小看毕达哥拉斯的这个发现，17世纪著名的科学家伽利略说过一句跟他非常接近的话：自然这部大书是用数学写成的。事实上，现代科学告诉我们，几乎所有的自然现象、生命现象背后都隐藏着数学的规律。比方说，向日葵籽盘上相互交叉的奇特螺线，菠萝表皮的菱形鳞片，雪花漂亮的六角形，鸟儿的群体活动，蜘蛛结网的本领，等等。
周濂《打开：周濂的100堂西方哲学课》
观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21…… 其中百合花花瓣数目为 3，梅花 5 瓣，飞燕草 8 瓣，万寿菊 13 瓣，向日葵 21 或 34 瓣，雏菊有 34、55 和 89 三个数目的花瓣。
《百度百科》
数学：一种描述语言
数学是运用逻辑规则，对所有符合逻辑规则的事物进行的研究。
数学研究的是关于事物的想法，而不是真实事物本身。因此，我们只需要改变自己头脑中的想法，就可以改变我们的研究对象。通常，这意味着改变我们对某种事物的看法，改变我们的视角，或是改变我们描述的方式。
郑乐隽《数学思维》
数学研究的目的之一就是“从零开始”。重复问“为什么？为什么？为什么？”的一个结果就是你会得到越来越基础的概念。
一个公式甚至比一台机器还要更好：它能告诉你它所代表的那台机器是怎么工作的，而非仅仅作为一个神秘的黑匣子出现。
郑乐隽《数学思维》
一个重要性较小的结论被称为“辅助定理”或“引理”（lemma），一个中等重要的结论被称为“命题”（proposition），一个相当重要的结论被称为“定理”（theorem）
郑乐隽《数学思维》
无理数是无法用这种方法测量的。值得注意的是，“无理”是从希腊语译过来的词，它的本义是“不可测量”，而不是“没有理性”。
罗素《哲学简史》
直到公元前370年左右，柏拉图、欧多克索斯及毕达哥拉斯学派成员阿契塔提出了解决方案，他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关，从而消除了这次危机。在有理数的尊崇地位受到无理数的挑战之后，人们开始明白了几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示；反之，数却可以由几何量表示出来。
量子学派《公式之美》
欧几里得后来提出的一些几何定理，在之前三个世纪就已经被泰勒斯证明——比如等腰三角形的底角相同。从泰勒斯到欧几里得，再到艾萨克·牛顿1663年在斯陶尔布里奇集市上购买的《几何原理》之间，有一条清晰的脉络。这一事件最终促成了现代科学的诞生。 卡尔·萨根《宇宙》
欧氏几何：又称欧几里得几何。古希腊数学家欧几里得把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为平面几何与立体几何。 量子学派《公式之美》
非欧几何：又称非欧几里得几何，指不同于欧几里得几何学的几何体系，一般是指罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。
三角形内角和不一定等于180°，在球面上，三角形内角和大于180°。两点之间不一定直线最短，在球面上，两点之间最短的是一条曲线。
欧氏几何在平坦空间之外的不适用，使数学家创立了与其分庭抗衡的非欧几何并发现我们的宇宙不是只有长、宽、高三维，可能还有第四维时空。在这些空间里，如果想判断宇宙是否平坦，数学上可以利用勾股定理，如果不满足，那么宇宙就不平坦。
量子学派《公式之美》
在1687年，牛顿发表《自然哲学的数学原理》(The Mathematical Principles of Natural Philosophy)，这可以说是现代历史上最重要的著作。牛顿在书中提出三大运动定律，只要用三个非常简单的数学公式，就能够解释宇宙中苹果或者流星掉落的规律：
从此之后，任何人想要了解炮弹或行星是如何运动的，又会落向何方，只要测量一下物体的质量、方向、加速度和作用力，把这些数据填入牛顿的方程式，答案简直就像魔术一样跃于眼前。
尤瓦尔·赫拉利《人类简史：从动物到上帝》
《原理》一书也包含牛顿写下的力学定律，即确定地面物体和天体抛物线轨道的运动定律。这些定律奠定了设计机械、利用蒸汽能、制造机车的基础，这些进步为工业革命和现代文明铺平了道路。今天，每一座摩天大楼、每一座桥梁和每一枚火箭都是按照牛顿的运动定律建造的。
与牛顿的突破统一了地面上的物理学和天体物理学一样，爱因斯坦统一了空间和时间。他还指出物质和能量也是统一的，因此可以彼此转换。如果一个物体运动得越快，它变得越重，这意味着运动的能量转换成了物质。反过来也是对的，物质也可以转换成能量。爱因斯坦计算出物质能转换成多少能量，他得出的计算公式是，即E=mc^2。
加来道雄《平行宇宙》
1854年之前，欧洲数学家灿若星辰，笛卡儿、拉格朗日、牛顿、贝叶斯、拉普拉斯、柯西、傅里叶、伽罗瓦等，无一不是数学天才。
1854—1935年，高斯、黎曼等人在数学界领袖群伦，德国取代英法成为世界的数学中心。
1935年之后，希特勒给美国送上“科学大礼包”：哥德尔、爱因斯坦、德拜、冯·诺依曼、费米、冯·卡门、外尔……很多科学家逃至北美，数学大本营从德国转向美国，美国成为世界的数学中心。
每一次数学中心的交替，都是文明中心的变换，可见，文明造就数学，数学推动文明，两者相辅相成。
量子学派《公式之美》序
牛顿告诉我们，大自然这本书所用的书写语言是数学。某些章节可以总结成某个明确的方程式。也有些学者想仿照牛顿，将生物学、经济学和心理学整理成简单的公式，却发现这些领域实在太复杂，不可能依样画葫芦。然而，这并不代表他们就放弃了数学。在过去200年间，为了处理现实中更复杂的层面，数学发展出一个新的分支：统计学。
尤瓦尔·赫拉利《人类简史：从动物到上帝》
虽然麦克劳林无法用数学预测韦伯斯特和华莱士是不是明年就会过世，但只要有足够的数据，他就能告诉韦伯斯特和华莱士明年很有可能有多少位苏格兰长老教会牧师会过世。 尤瓦尔·赫拉利《人类简史：从动物到上帝》
时至今日，他们的基金简称为苏格兰遗孀基金(Scottish Widows)，是全球最大的退休金和保险公司之一，总值高达1000亿英镑，现在任何人都能够购买其保单，而不只保障苏格兰的遗孀。（尤瓦尔·赫拉利《人类简史：从动物到上帝》）
根据他们的计算，到1765年，这个“苏格兰教会牧师遗孀及孩童抚恤基金”总资本会有58348英镑。事后证明，他们的计算准确到不可思议。到了这一年，基金总资本为58347英镑，只比预测少了1英镑！这可是比所有宗教先知的预言都准确太多了。
尤瓦尔·赫拉利《人类简史：从动物到上帝》
如果哪个人想打动政府、组织和企业，就必须学会“用数字说话”。而专家也费尽心力，甚至像“贫穷”、“幸福”和“诚实”这些概念，都能翻译成一个又一个的数字，成了“贫穷线”“主观幸福感程度”“信用等级”。而像物理和工程方面，几乎整个知识领域都快要和人类的口语语言脱节，而由数学符号独挑大梁。 尤瓦尔·赫拉利《人类简史：从动物到上帝》
《信息》的作者詹姆斯·格雷克曾说：“将香农与爱因斯坦进行对比更有意义。爱因斯坦贡献突出，地位显赫。但我们并没有生活在相对论时代，而是生活在信息时代，正是香农，在我们所拥有的电子设备中，在我们注视的的每一个计算机屏幕上以及所有数字通信的方法中，都留下了他的印记。他是这样一个人：他改变了世界，而且在更改以后，旧世界已经被人们彻底遗忘。”
不管在现实生活中简单易懂的1 1=2，还是互联网世界里的1 1=10，都以其自身的客观性和普适性在时间长河里自证“伟大”。
量子学派《公式之美》
数学思维：本质思考
数学的目的是让事情简单化。 理解就是力量。如果你帮助某人更好地理解了某样东西，你就赋予了他更多的力量。 郑乐隽《数学思维》
一个更有名、更长的反证法案例是关于√2是无理数的证明，即证明√2不能被写成分数a/b（其中a和b为整数）这一形式。你也许知道√2=1.4142135…，并且它的小数位“无限不循环”，这些要素都是无理数的特点，但并不能作为一种证明。
郑乐隽《数学思维》
1. 非独裁：最终结果是由多于一个人决定的。 2. 一致同意：如果每个人都投票认为x比Y更好，那么在最终结果中，x的排名会比Y更高。 3. 与无关选择的独立性：对x和Y的排名不应受到投票者对Z的看法变化的影响。 阿罗悖论接着说，如果有多于两个候选人（或备选项），那么公平的投票体系就是不存在的。现代民主选举制度最经常破坏的是第三条公理，这也就是为什么策略性投票成为可能。 郑乐隽《数学思维》
对于每一个整数a, 都有另一个整数b存在，使得a b=0。
这条公理说明我们知道我们讨论的是整数，而不是自然数，因为这条公理涉及负数。但我们讨论的也可能是“一圈只有3个小时的钟”。你也许觉得这个例子不涉及负数，因为钟面上只有1、2、3这三个数字。但每个数字仍然都有一个对应的数字，满足二者相加的结果等于0，因为在这个例子里0就等于3：
1 2=3
2 1=3
3 3=3
郑乐隽《数学思维》
命题 如果A可以被B整除，并且B可以被C整除，那么A就可以被C整除。
我已经告诉了你故事的开头和结尾，现在，我要告诉你这个故事最重要的部分了：中间情节，也就是从开头走向结尾的整个过程。这就是数学证明。
证明：
假设：1. A可以被B整除，即A=k×B，其中k为自然数，并且
2. B可以被C整除，即B=j×C，其中j为自然数。
则A=k×j×C，并且k×J是自然数。
所以A=m×C，其中m为自然数。
因此，根据定义，A可以被C整除。
证明完毕。
郑乐隽《数学思维》
几次证明费马大定理的尝试都失败了，因为当时的研究者认为他们是在一个质因数分解定理成立的数学领域里分析这个问题的，但事实并非如此。
郑乐隽《数学思维》
怀尔斯生平主要研究一种称为椭圆曲线的学问，有人可能不太理解，费马猜想和椭圆曲线有什么关系？以X^3 Y^3=Z^3为例，我们可以做这样的初等变换：
将上式代入费马方程得：
瞧，这一下就变成了椭圆曲线！现在，我们知道原来的方程没有非平凡解（所谓平凡解，就是允许X，Y，Z其中一个数是0），所以这相当于说上面的椭圆曲线方程只有显然的有理数解(12,36)和(12,-36)。
量子学派《公式之美》
欧氏几何在平坦空间之外的不适用，使数学家创立了与其分庭抗衡的非欧几何，并发现我们的宇宙不是只有长、宽、高三维，可能还有第四维时空。在这些空间里，如果想判断宇宙是否平坦，数学上可以利用勾股定理，如果不满足，那么宇宙就不平坦。
量子学派《公式之美》
图片来源：乔丹·艾伦伯格《魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量》
如果我们在每架飞机上找到的弹孔数都不超过一个，这意味着什么呢？这并不表明美军飞行员都是躲避敌军攻击的高手，而说明飞机中弹两次就会着火坠落。 如果去医院的病房看看，就会发现腿部受创的病人比胸部中弹的病人多，其原因不在于胸部中弹的人少，而是胸部中弹后难以存活。 乔丹·艾伦伯格《魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量》
戴维·斯文森告诉我：“晨星基金的星级评级实在太重要了，以至基金评级低于4星了，基金公司很快就会出手消灭掉。”2008—2012年，27%的美国国内股票投资基金和23%的国际股票投资基金都消失不见了，它们要么是合并了，要么是清盘了。这是很常见的做法，消除那些基金糟糕的历史业绩记录，整个基金家族就只剩下历史业绩辉煌的明星基金了。
托尼·罗宾斯《钱》
晨星公司大盘混合型基金的投资对象是可以大致决定标准普尔500指数走势的大公司，似乎都是有价值的金融资产。这类基金1995~2004年增长了178.4%，年均增长率为10.8%，这是一个令人满意的增长速度。如果手头有钱，投资这类基金的前景似乎不错，不是吗？
博学资本的研究表明，如果在计算收益率时把那些已经消亡的基金包含在内，总收益率就会降到134.5%，年均收益率就是非常一般的8.9%
乔丹·艾伦伯格《魔鬼数学：大数据时代，数学思维的力量》
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