极客数学帮应用题解答专题，今天的专题是为同学们讲解行程问题中的环形跑道问题，从知识点、做题方法和例题解析三个方面来进行讲解，希望对同学们有所帮助。
一、知识点总结
基本公式：
路程=速度×时间;
路程÷时间=速度;
路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题(相向)：相遇时间=路程和÷速度和
追及问题(同向)：追及时间=路程差÷速度差
注：不只是追及问题中我们用路程差÷速度差=追及时间，实际在很多两人同时行进一段时间，不同的速度必然会造成路程不同，我们都可以用这个公式：
路程差÷速度差=所行时间。
环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈(每隔第一次相遇时间就相遇一次);第几次相遇就合走几圈;如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次(每隔第一次追及时间就追上一次).第几次追上就多跑几圈。这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
1 、相遇问题：
题型特点：甲、乙两人同时从同地反向出发。
解题规律：两人相遇时一起走一圈(跑道周长)。之后每见面一次，就一起走 1 圈;见面 n 次，两人一起走 n 个周长。
2 、追及问题：
题型特点：甲、乙两人同时从同地同向出发。
解题规律：开始出发时由于速度不同两人之间的距离会越来越远，之后快的会追上慢的，此时快的人比慢的人多走 1 圈(路程差为跑道周长)。之后每追上一次，就多走 1 圈;追上 n 次，快的就比慢的多走 n 个周长。
二、做题方法：
(1)审题：
看题目有几个人或物参与; 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时
看地点是指是同地还是两地甚至更多
看方向是同向、背向还是相向
看事件指的是结果是相遇还是追及
相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。
追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差。这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差。
(2)简单题利用公式
(3)复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差
三、例题解析
1、在300米的环形跑道上，如果同向而跑快者2分30秒追上慢者，如果背向而跑两者半分钟相遇，求两人的速度。
解析：注意如果题目没有第几次追上或相遇，都默认为是第一次追上或相遇。
“第几次追上就多跑几圈”，快者第一次追上慢者，就是比慢者多跑一圈，即用2分30秒比慢者多跑300米，那么快比慢1秒钟多跑(速度差)：300÷150=2米
“第几次相遇就合跑几圈”，第一次相遇就合跑一圈，即用半分钟合跑300米，1秒钟两人合跑(速度和)：300÷30=10米
慢者：(10-2)÷2=4米/秒
快者：4+2=6米/秒
“和差算法”：小的数=(和-差)÷2 大的数=(和+差)÷2
2、在环形跑道上，两人背靠背跑，每隔4分钟相遇一次：同向跑每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道周长1600米，求两人的速度?
解析：两人速度差1600÷20=80米/分 两人速度和1600÷4=400米/分
慢者：(400-80)÷2=160米/分
快者：160+80=240米/分
3、幸福村小学有一条长200米的环形跑道，铮铮和包包同时从起跑线起跑，铮铮每秒钟跑6米，包包每秒钟跑4米，问铮铮第一次追上包包时两人各跑多少米，第2次追上包包时两人各跑多少圈?
解析：
(1)铮铮第一次追上包包，总共比包包多跑一圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑一圈200米呢?
200÷(6-4)=100秒 注：熟了之后直接用公式路程差÷速度差=所行时间
铮铮：6×100=600米 包包：4×100=400米或600-200=400米
(2)第一问求出铮铮第一次追上包包时两人的路程， 直接铮铮：600÷200=3圈 3×2=6圈 包包：6-2=4圈
4、环形公路长2400米，铮铮和微微同时从同一地点出发，微微骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时微微骑了1440米。问铮铮骑一圈的时间?再过多久他们第二次相遇?
解析：
(1)微微骑一圈需要10分钟，可知微微的速度2400÷10=240米/分
第一次相遇时微微骑了1440米，可知相遇时间1440÷240=6分钟
第一次相遇时两人合跑一圈2400米，铮铮骑2400-1440=960米
铮铮速度960÷6=160米/分
铮铮骑一圈的时间2400÷160=15分钟
(2)“再过多久”，指从第一次相遇开始计时，每隔6分钟相遇一次。所以答案还是6。
四、练习题
1、在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒?
2、小明在360米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5米，后半时间每秒跑4米，为他后半路程用了多少时间?
3、林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒
4、小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒?
5、小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米。求他后一半路程用了多少时间?
6、二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程?
参考答案
1、假设没有休息那么100/(5—4)=100秒钟在100/5=20秒100/20-1=4(次)100+4*10=140秒。
2、x÷4=(360-x)÷5×=160(360÷2-160)÷5+160÷4=44分。
3、设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2 X/2*5+X/2*4=360 X=80 总共跑了80秒前40秒每秒跑5米，40秒后跑了200米后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米后一半的路程为360/2=180米后一半的路程用的时间为(200-180)/5+40=44秒
4、设时间X秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程=40*4=160米后一半路程=360/2=180米后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米后一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒后一半路程时间=4+40=44秒答：后一半路程用了44秒
5、设总用时X秒。前一半时间和后一半时间都是X/2。然后前一半跑8*(X/2)米，后一半跑6*(X/2)米，总共加起来等于420米。所以列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因为后一半为6M/S，所以后一半跑了6*30=180M。
6、前10圈甲跑一圈击掌一次，即10下此时已跑了5+5/7圈;后面2人跑了2/7时击掌一次，然后2人共一圈击掌1次耗时 (4+2/7)/(1/4+1/7)=30/7*(11/28)=165/98;甲共总走了40+165/98 H 已走了 (40+165/98)*(400/7) M
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