“倍角三角函数”解题探究

摘要：文章通过对三角形的角的倍数关系的不同处理方式，获得不同的解题过程和思路，挖掘在解题过程中暴露出来的思维内涵和思维特征，获得基本的数学活动经验，构建“倍角三角形”及其解题模式. 用类比探究和分类讨论的思想方法解决相关问题，以达到拓展解题的能力，实现让学生获得基本的数学活动经验的教学目标．

关键词：倍角三角形；类比探究；解题模式；分类讨论

所以36°＜α＜45°．

（方法1：大角剖分法）如图2，作∠A的平分线AD交BC于点D．

则∠CAD=∠BAD=∠B=α，AD=BD．

模式4：如图9，2倍角三角形一定能分成一个等腰三角形和一个3倍角三角形．

例1 （2014年浙江·宁波卷）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？画示意图说明剪法．

我们有多种剪法，图13（1）是其中的一种方法.

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．

（1）在图13（2）中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的度数（若两种方法分得的三角形成3 对全等三角形，则视为同一种）；

波利亚曾说过，假如人们想要从解题中得到最大的收获，就应当在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在以后去求解其他的问题时，能起到指引的作用．这样的建议对师生都是有意义的．在解题以后，应有意识地引导学生进行反思，反思解题过程的经验、思想和方法，反思求解结论的拓展，思考问题内在的逻辑关联，在变化中抓住不变的核心特征，才是问题解决的关键，总结思维方法以及解题模式，提升思维深度和力度．借助几何直观、分类讨论、从特殊到一般，突出数学思想和方法的引领，帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，让学生不断经历、体验各种活动过程的结果，提升学习的过程性和习惯性．