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数学运算——工程问题(下篇)


常见的方法:公式法、赋值法、方程法。

常见的题型:直接考查公式类、多种方式干活类、工程统筹优化类。

下面我们主要以后两种题型为主为大家以例题的形式梳理一下。

(一)多种方式干活类

在多种方式干活类的问题中包括合作型、先后型、撤离型、循环交替型等等,不管是哪种都包括单项工程或者多项工程的问题。如果给定的是时间的相关量,我们采用赋值时间的最小公倍数给工程总量的方法进行求解;如果给定的是效率的相关比值,我们可以采用直接将比例值赋值给效率的方法解决题目。

【例1】某电商准备在“双十一”囤积一批货物,前10天囤积了1/3 ,后来改进了工作方式,效率比原来提高了25%,这样,完成全部任务比原计划提前的天数为

A.4 B.7

C.6 D.5

【答案】A

【解析】题干中没有已知工程量与效率,已知的是效率的比值,所以采用赋值法,我们直接赋值原来的效率为“4”,则前10天工作量为40,为总工作量的1/3,则总量的后2/3为80,后来效率比原来提高了25%,即为5,所以提前的时间为8/4-8/5=4天,答案选择A。

注:这属于简单的直接赋值效率。

【例2】一项工程,甲一人做完需30天,甲、乙合作完成需18天,乙、丙合作完成需15天,甲、乙、丙三人共同完成该工程需:( )

A. 10天 B. 12天

C. 8天 D. 9天

【答案】A

【解析】仅已知时间,赋时间的最小公倍数给总量为90,那么甲效率为3,甲+乙为5,乙+丙为6,即甲乙丙三人的效率之和为3+6=9,所以三人合作所需时间为90÷9=10天,答案选择A。

注:合作型。这属于简单的直接赋值时间的最小公倍数给工程总量。

【例3】某项工程,甲单独完成需要8天,乙需要4天,甲做一半换乙,乙做剩余一半又换甲,甲又做剩余一半再换乙完成,问整个工程花费( )天。

A.5.5 B.6

C.6.5 D.7

【答案】C

【解析】仅已知时间,赋时间的最小公倍数给总量为8,甲效率为1,乙为2,干活的过程我们列表格如下:

工作量甲(4)乙(2)甲(1)乙(1)
时间4110.5

整个工程的时间为4+1+1+0.5=6.5天,答案选择C。

注:先后型。直接赋值时间的最小公倍数给工程总量。撤离型与先后型是类似的。

【例4】单独完成某项工作,甲需要16小时,乙需要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙、……的顺序轮流工作,每次1小时,那么完成这项工作需要多长时间?( )

A.13小时40分钟 B.13小时45分钟

C.13小时50分钟 D.14小时

【答案】B

【解析】赋值工作总量为48,甲的效率为3,乙的效率为4,一个周期包括甲乙共2个小时量为7,那么48÷7=6……6,商为6指的是6个周期共计12小时,余数的6指的是剩下的6个工作量,需要甲完成1小时,乙完成3/4小时(即45分钟),总计时间13小时45分钟,答案选择B。

注:循环交替型。直接赋值时间的最小公倍数给工程总量,按照周期问题的做题方式解决即可。

【例5】甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4,现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队,甲队负责A工程,乙队负责B工程,丙队参与A工程若干天后转而参与B工程,两项工程同时开工,耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工多少天?

A.6 B.7

C.8 D.9

【答案】A

【解析】赋值甲、乙、丙的效率分别为6、5、4,依照题意在16天的时间之内甲乙丙共同合作完成了A与B两项工程。

法一:设丙在A工程中完成的时间为x天,那么丙在B工程中完成的时间就是(16-x)天,根据A与B两项工程量相同建立等量关系:16×6+4x=16×5+4(16-x),解方程得到:x=6,答案选择A。

法二:A与B两项工程总量=(6+5+4)×16=240,那么A工程的量为120,对于A工程来讲,甲完成了16天剩下的由丙来完成,甲完成的量为6×16=96,剩下120-96=24,丙完成的时间就是24÷4=6天,答案选择A。

注:多工程赋值效率型。直接将比值赋值相应的效率即可。

(一)工程统筹优化类

工程统筹优化类的问题一般给定的是多人做不止一项工程的情况下,实现以最少的时间完成最多的工程量,这时候需要我们找到最优的相对效率,也就是找到工程的擅长者,实现“效益”最大化。

【例6】甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。已知甲队单独完成A项目需13天,单独完成B项目需7天;乙队单独完成A项目需11天,单独完成B项目需9天。如果两队合作用最短的时间完成两个项目,则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务?( )

A.1/12天 B.1/9天

C.1/7天 D.1/6天

【答案】D

【解析】根据完成工程的时间不同可以得知:甲去完成B项目,乙去完成A项目,然后甲乙共同完成剩余的A项目,这样能够实现所用的时间最短。即B项目完工时,乙做A项目已7天。令A工程总量为11×13=143,则甲效率=11,乙效率=13,B项目完工时,A项目剩余143-13×7=52,所以完成A项目还需52÷(11+13)=13/6天,最后一天需要共同工作1/6天。答案选择D。

注:统筹优化+赋值工程量。第一步确定最优方案;第二步按照工程问题的方法解决。

【例7】小王和小刘手工制作一种工艺品,每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成,小王每天可以制作150个甲部件,或者制作75个乙部件;小刘每天可以制作60个甲部件,或者制作24个乙部件。现两人一起制作工艺品,10天时间做多可以制作该工艺品( )件。

A. 660 B.675

C.700 D.900

【答案】C

【解析】根据题意:小王制作甲和乙的工作效率比为2:1,而小刘制作甲和乙的效率比大于2:1,要使得限定时间内工作总量最多,最好是小刘做甲、小王做乙。小刘速度较慢,所以小刘全部的时间都用来制作甲(从劣势一方入手),10天时间可以制作600个甲。小王速度较快,故除了做乙部件还可以分出来一部分时间做甲部件。设小王制作甲部件的时间为x,那么小王制作乙部件的时间为(10-x),根据题意得:600+150(10-x)=75x,解得x=28/3,所以二人完成的零件数为75×28/3=700个,答案选择C。

注:统筹优化——确定相对最优效率来完成项目。

以上我们为大家梳理的就是在考试中经常考察的一些工程问题,我们为大家分为上、下篇来介绍具体的题型,希望对大家复习有所帮助,华图,与大家一同在路上……

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