射影定理
直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中,∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高,则有射影定理如下:(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。等积式 (4)ACXBC=ABXCD(可用面积来证明)
所谓射影,就是灯光投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1]
公式: 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:射影定理
(1)BD2=AD·DC,(2)AB2=AD·AC ,(3)BC2=CD·CA。
等积式(4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明) (5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD[1]
直角三角形射影定理的证明
射影定理简图(几何画板)
:(主要是从三角形的相似比推算来的) 一、
在△BAD与△BCD中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°,
∴∠ABD=∠C,
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD2=AD·DC。其余同理可得可证[1]
AB2=AD·AC,BC2=CD·CA
两式相加得:
AB2+BC2=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=AC2 .
即勾股定理。[1] 注: AB2的意思是AB的2次方
已知:三角形中角A=90度,AD是高.
证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且
BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余。
证明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的。
∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,
∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD2=BD×CD.
运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。[1]
任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”:
△ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
a=b·cosC+c·cosB,
b=c·cosA+a·cosC,
c=a·cosB+b·cosA。
注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理。
面积射影定理:“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。”
COSθ=S射影/S原
(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)
证明思路:因为射影就是将原图形的长度(三角形中称高)缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度(三角形中称高)的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱(即原多边形图的平面和射影平面的交线),那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算,即可。
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