事半功倍的使用余数解题，《余数的妙用》升级版——思路转化。大家好我是小梁老师，这节课我们来学习余数问题中的几个特殊题型。

我国古代的《孙子算经》里有一道闻名中外的题目:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何?

这就是一道余数问题，人们称解决这类问题的方法为“孙子定理”或“中国剩余定理”。对于我们小学生来说“剩余定理”当然太深奥了，但我们利用倍数和余数的知识，也能巧妙地解答这类问题。

---

例1、某数被4除余3，被5除少2，被7除少4。这个数最小是多少？

分析:这道题目的条件比较凌乱，猛一看去仿佛无从人手。但是我们可以换个思路，要分析解答这道题目，首先必须把题目的条件加以整理，把“被5除少2，被7除少4＂改述为:被5除余3，被7除余3。这样一来，就变成了一个“同余”的问题了。不难想象，题目要求的那个数就是4、5、7的最小公倍数再加上3的和。

4、5、7的最小公倍数是140，题目要求的那个数即为140+3＝143

检验:143÷4＝35…3

(143+2)÷5=30

(143+4)÷7＝21。

---

例2、某数被5除余2，被6除少2，被7除少3。这个数最小是多少?

分折:答这道题目，和上一个题目一样，同样要先把条件加以改述:某数被5除余2，被6除余4，被7除仍余4。符合其中后两个条件的最小的是:6×7+4＝45。但“46不能符合“被5除余2”这一条件，怎么办呢?就应在“46”的基础上逐一加上“42”(因为42是6和7的最小公倍数，所以不管加多少次42，它们的和都能符合“被6除余4，被7除也余4＂这一要求)。

46+42＝88(被5除余3，舍去);

46+42×2＝130(被5除无余，舍去)

46+42×3＝172(被5除余2，符合条件)。

答:符合题目条件的最小的数是172。

---

例3、小王叔叔加工了一批机器零件，总量大约在150～200之间。平均装入5个盒子，最后多出1个;若改用6个盒子去装，最后又多出4个;若再改用7个盒子去装，最后却多出5个。这批零件共有多少个？

分析:这道题目实际就是“某数被5除，余1;被6除，余4;被7除，余5”。三个余数都互不相同，怎么办呢?我们再仔细看看这几个条件，不难发现，它们的后两个条件可改述为:某数被6除，少2；被7除，也少2。这样便找到了解题的突破口。

符合“被6除少2，被7除也少2”这两个条件的最小ー个数是6x7ー2＝40。但“40°被5除并不能余1。这就需要采用逐一加上“42”(6和7的最小公倍数)

40+42＝82(被5除余2，舍去)

40+42x2＝124(被5除余4，舍去);

40+42x3＝166(被5除余1，符合条件)

答:小王叔叔共加工166个零件。

通过以上三道例题的分析，我们可以看出:解答余数问题的突破口一般都是经过“转化”条件，使之变成“同余”问题，然后用公倍数(一般是取最小公倍数)来作一些增减调整;若三个不能“同余”，也应设法找出其中两个“同余”的条件，然后仍采取“逐步调整”的方法来寻找问题的答案。

---

例4、有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出1个;若平均分给6名小朋友，最后多出3个;若平均分给7名小朋友友，最后却多出2个。这篮苹果一共有多少个?

分析:若把题目的条件改述为“被某数除少几”，都找不出两个相同的情况。怎样解答这类问题呢?有一个非常简便的方法——枚举法。

被5除余1的数，有：

6、11、16、26、31、36、41、46、51和56(不超过60，以下同)

被6除余3的数，有:

9、15、21、27、33、39、45、51和57

被7除余2的数，有

9、16、23、30、37、44、51和58。

从上面枚举出的这些数据中可以清楚地看出，“51”在三个数列中都出现了。这就说明，51能满足题目的三个条件，即这篮果有51个。

学到这里，有必要补充一句:例题1至3，也可以用“枚举法”来推算。但是，如果题目中的数据过大，用“枚举法”就比较费力了，因此，我们要尽量采用“调整”法。

还有一类余数问题是求“除数”的，这类问题的解法更加特殊，请看下面例题：

例5、甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人，93和97人。现在要把这个旅行团分别进行分组，并使每组的人数可能多，以便乘车参观游览。已知甲、乙、丙三个旅行团分组后，所剩的人数相同，向丁旅行团分组后还剩几人?

分析:从表面上看。这道题目问的是“剩余”人数，但我们知道“剩余”是因为不能被整除而产生的，所以，解答这道题目的关是求“每组有几人”(即求除数)。

这个除在何处找呢?其实呀，它远在天边，近在眼前，这个除数就藏在它的“差“里。这是为什么呢?我们可以这样想:既然甲、乙、丙三个数被某数除的余数相同，那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除(因为它们相减时，余数恰好相互“抵消”了)。

不举个例子来看看吧

58÷7＝8……2(表示有8个7、余2)

37÷7＝5……2(表示有5个7，余2)

58-37＝21(剩下的就只有3个7)

懂得了以上这个道理之后、再来解答这个问题就不困难了。

甲、乙、丙三个数之间的差分别是16、8和24，不难看出它们的最大公因数是8。这也正是我们所要寻找的“除数”。

验证如下：

69÷8＝8……5(分成8组，剩下5人)

85÷8＝10……5(分成10组，剩下5人)

93÷8=11……5(分成11组，剩下5人)。

最后再来推算丁旅行团分组的情况

97÷8＝12……1(人)

答:丁旅行团分组后剩下1人。