导数 是在函数上任何一点的坡度。
有很多法则可以帮助我们去求导数。
例子:
以下是一些常用的法用来求函数的导数(例子在下面)。注意:这个符号 ’ 的意思是 '的导数'。.
常见函数 | 函数 | 导数 |
---|---|---|
常数 | c | 0 |
直线 | x | 1 |
ax | a | |
平方 | x2 | 2x |
平方根 | √x | (½)x-½ |
指数 | ex | ex |
ax | ln(a) ax | |
对数 | ln(x) | 1/x |
loga(x) | 1 / (x ln(a)) | |
三角 (x 的单位是 弧度) | sin(x) | cos(x) |
cos(x) | −sin(x) | |
tan(x) | sec2(x) | |
反三角 | sin-1(x) | 1/√(1−x2) |
cos-1(x) | −1/√(1−x2) | |
tan-1(x) | 1/(1+x2) | |
法则 | 函数 | 导数 |
乘以常数 | cf | cf’ |
幂次方法则 | xn | nxn−1 |
加法法则 | f + g | f’ + g’ |
减法法则 | f - g | f’ − g’ |
积法则 | fg | f g’ + f’ g |
商法则 | f/g | (f’ g − g’ f )/g2 |
倒数法则 | 1/f | −f’/f2 |
链式法则 (为 '复合函数') | f º g | (f’ º g) × g’ |
链式法则 (用 ’ ) | f(g(x)) | f’(g(x))g’(x) |
链式法则 (用 d dx ) | dy dx = dy du du dx |
'的导数' 也可以写成 d dx
所以 d dx sin(x) 和 sin(x)’ 是 一样的,只不过写法不同
从上面的列表我们可以看到答案是 cos(x)
可以写为:
或:
sin(x)’ = cos(x)
问题是 'x3 的导数是什么?'
我们可以用幂次方法则,以 n=3:
1/x 等于 x-1
我们可以用幂次方法则,以 n = −1:
cf 的导数 = cf’
5f 的导数 = 5f’
幂次方法则:
所以:
加法法则说:
f + g 的导数 = f’ + g’
所以我们可以求每项的导数,然后求它们的和。
幂次方法则:
所以:
x2 + x3 的导数 = 2x + 3x2
变量不一定是 x,我们可以相对于 v 来求导数:
减法法则说:
f − g 的导数 = f’ − g’
所以我们可以求每项的导数,然后求它们的差。
幂次方法则:
所以:
v3 − v4 的导数 = 3v2 − 4v3
幂次方法则:
所以:
积法则说:
fg 的导数是 = f g’ + f’ g
在这个例子里:
根据上面的列表:
所以:
cos(x)sin(x) 的导数 = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x)
= cos2(x) − sin2(x)
倒数法则说:
1/f 的导数 = −f’/f2
若 f(x)= x,f’(x) = 1
所以:
1/x 的导数是 = −1/x2
结果和在上面用幂次方法则求的一样。
sin(x2) 是由 sin() 和 x2 结合而成:
链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f'(g(x))g'(x)
导数分别是:
所以:
d dx sin(x2) = cos(g(x)) (2x)
= 2x cos(x2)
链式法则也可以写成: dy dx = dy du du dx
让我们用这个公式来再做一遍上面的例子:
dy dx = dy du du dx
设 u = x2,所以 y = sin(u):
d dx sin(x2) = d du sin(u) d dx x2
分别微分:
d dx sin(x2) = cos(u) (2x)
代入 u = x2 和简化:
d dx sin(x2) = 2x cos(x2)
结果和上面一样!
再来看看一些链式法则的例子:
1/cos(x) 是由 1/g 和 cos() 结合而成:
链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)
导数分别是:
所以:
(1/cos(x))’ = −1/(g(x))2 × −sin(x)
= sin(x)/cos2(x)
注意:sin(x)/cos2(x) 也是 tan(x)/cos(x),或其他不同的形式。
链式法则说:
f(g(x)) 的导数 = f’(g(x))g’(x)
(5x-2)3 是由 g3 和 5x-2 结合而成:
导数分别是:
所以:
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