倍长中线模型构造全等三角形

【专题说明】

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【知识总结】

题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

主要思路：倍长中线（线段）造全等

方法一：在△ABC中 AD是BC边中线，延长AD到E， 使DE=AD，连接BE

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方法二： 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE

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方法三：延长MD到N， 使DN=MD，连接CD

1、 如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。

解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,

∵D为AC中点

∴AD=DC,

在△ABD和△CED中，

BD=DE,

∠ADB=∠CDE

AD=CD

∴△ABD≌△CED（SAS）

∴EC=AB=10

在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC

10-6＜BE＜10+6

∴4＜2BD＜16

∴2＜BD＜8

2、如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线．

3、如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．

【答案】详见解析

【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．

4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.

5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？