什么是最小二乘法？

最小二乘法是一种优化算法，最小二乘法名字的缘由有两个：一是要将误差最小化，二是将误差最小化的方法是使误差的平方和最小化。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合，所拟合的曲线可以是线性拟合与非线性拟合。

1、常用而不知

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

之所以出现不同的值可能因为：

a. 不同厂家的尺子的生产精度不同

b. 尺子材质不同，热胀冷缩不一样

c. 测量的时候心情起伏不定

......

总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者，自然要想下：

这样做有道理吗？

用调和平均数行不行？

用中位数行不行？

用几何平均数行不行？

2、最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作 yi：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作 y：

每个点都向 y做垂线，垂线的长度就是| y-yi | ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：

总的误差的平方就是：

因为 y 是猜测的，所以可以不断变换：

自然，总的误差 也是在不断变化的。

法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833）提出让总的误差的平方最小的 就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动。

这就是最小二乘法，即：

这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。

这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：

进而：

正好是算术平均数。

原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。

以下这种方法：

就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思。

3、最小二乘法的推广

算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。

比如温度与冰淇淋的销量：

看上去像是某种线性关系：

可以假设这种线性关系为：

通过最小二乘法的思想：

上图的i、x、y分别为：

总误差的平方为：

不同的a、b会导致不同的 €，根据多元微积分的知识，当：

这个时候 取最小值。

对于a、b而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：

也就是这根直线：

其实，还可以假设：

在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出 ，得到下面这根红色的二次曲线：

同一组数据，选择不同的 ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线（出处）：

不同的数据，更可以选择不同的 ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：

也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。

广告

数学物理方法