2010-2011中考模拟数学试题汇编:压轴题
一、解答题
1.(2010年广州中考数学模拟试题一)如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。
(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;
(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
A B C N P M O x y x=1 第1题图
答案:(1)∵OM∥BN,MN∥OB,∠AOB=900,
∴四边形OBNM为矩形。
∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=900
∵
∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM,PN=MN-PM=1-PM,
∴OM=PN,
∵∠OPC=900,
∴∠OPM+CPN=900,
又∵∠OPM+∠POM=900 ∴∠CPN=∠POM,
∴△OPM≌△PCN.
(2)∵AM=PM=APsin450=
∴NC=PM=
∴BC=BN-NC=1- (3)△PBC可能为等腰三角形。 ①当P与A重合时,PC=BC=1,此时P(0,1) ②当点C在第四象限,且PB=CB时, 有BN=PN=1- ∴BC=PB= ∴NC=BN+BC=1- 由⑵知:NC=PM= ∴1- ∴PM= ∴P( ∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为(0,1)或( 2. (2010年广州中考数学模拟试题(四))关于x的二次函数y=-x2+(k2-4)x+2k-2以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x轴上方. (1)求此抛物线的解析式,并在直角坐标系中画出函数的草图; (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D,过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD.设矩形ABCD的周长为l,点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式; (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD能否成为正方形.若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由. 答案:(1)根据题意得:k2-4=0, ∴k=±2 . 第2题图 A1 A2 B1 B2 C1 D1 C2 D2 x y 当k=-2时,2k-2=-6<0. 又抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴k=2 . ∴抛物线的解析式为:y=-x2+2. 函数的草图如图所示: (2)令-x2+2=0,得x=± 当0<x< ∴l=2(A1B1+A1D1)=-2x2+4x+4. 当x> ∴l=2(A2B2+A2D2)=2x2+4x-4. ∴l关于x的函数关系式是: (3)解法①:当0<x< 解得x=-1- 将x=-1+ 当x> 得x2-2x-2=0, 解得x=1- 将x=1+ 得l=8 综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+ 解法②:当0<x< ∴正方形的周长l= 当x> ∴正方形的周长l= 综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+ 解法③:∵点A在y轴右侧的抛物线上, ∴当x>0时,且点A的坐标为(x,-x2+2). 令AB=AD,则 ∴-x2+2=2x, ① 或-x2+2=-2x, ② 由①解得x=-1- 由②解得x=1- 又l=8x,∴当x=-1+ 当x=1+ 综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1+ 3.(2010年河南省南阳市中考模拟数学试题)如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为 第3题图 (2)如果点P由点A开始沿AB边以 ①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围. ②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由. 答:(1)设抛物线的解析式为 由题意知点A(0,-12),所以 又 ∵AB∥CD,且AB=6, ∴抛物线的对称轴是 ∴ 所以抛物线的解析式为 (2)① ②当 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,有如下三种情况: (Ⅰ)当点R在BQ的左边,且在PB下方时,点R的坐标(3,-18), 将(3,-18)代入抛物线的解析式中,满足解析式,所以存在, 点R的坐标就是(3,-18); (Ⅱ)当点R在BQ的左边,且在PB上方时,点R的坐标(3,-6), 将(3,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件. (Ⅲ)当点R在BQ的右边,且在PB上方时,点R的坐标(9,-6), 将(9,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件. 综上所述,点R坐标为(3,-18). 4.(2010年江西省统一考试样卷)已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)两点. (1)求这个二次函数的关系式; (2)若有一半径为r的⊙P,且圆心P在抛物线上运动,当⊙P与两坐标轴都相切时,求半径r的值. (3)半径为1的⊙P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P与y轴相离、相交? 答案:解:(1)由题意,得 ∴二次函数的关系式是y=x2-1. (2)设点P坐标为(x,y),则当⊙P与两坐标轴都相切时,有y=±x. 由y=x,得x2-1=x,即x2-x-1=0,解得x= 由y=-x,得x2-1=-x,即x2+x-1=0,解得x= ∴⊙P的半径为r=|x|= ∴当y=0 又当x=0时,y=-1, ∴当y>0时, ⊙P与y相离; 当-1≤y<0时, ⊙P与y相交. 第5题图 以M为圆心,以2为半径的圆交x轴于A、B,抛物线 (1)求点C的坐标并画出抛物线的大致图象 (2)已知点Q(8,m),P为抛物线对称轴上一动点, 求出P点坐标使得PQ+PB值最小,并求出最小值. (3)过C点作⊙M的切线CE,求直线OE的解析式. 答案:(1)将A(2,0)B(6,0)代入 ∴ 将x=0代入,y=2 ∴C(0,2) (2)将x=8代入式中,y=2 ∴ Q(8,2) 过Q作QK⊥x轴 过对称轴直线x=4作B的对称点A PB+PQ=QA 在Rt△AQK中,AQ= PM∥KQ 即△APM∽△AQK ∴PA= (1).用x表示?ADE的面积; (2).求出 (3).求出 (4).当 答案:解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC ∴ 即 (2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5 ∴当0﹤ (3) ∵S△A'DE=S△ADE= 由已知求得AF=5 ∴A'F=AA'-AF=x-5 由△A'MN∽△A'DE知 ∴ (4)在函数 ∵0﹤x≤5 ∴当x=5时y最大为: 在函数 当 ∵ ∴当 7.(2010年河南中考模拟题2)如图,直线 (1) 求A、B、C三点的坐标。 (2) 设点D的横坐标为x,△BED的面积为S,求S关于x的函数关系式。 (3) 答案:解:(1)将x=0代入y= 因C为OA的中点,故点C的坐标为(0,1.5) 将y=0代入y= 所以A、B、C三点坐标为(0,3),(-4,0),(0,1.5) (2)由(1)得OB=4,OA=3则由勾股定理得AB=5 因P点的横坐标为x,故OD=-x,则BD=4+x 又由已知得∠DEB=∠AOD=900 , ∴sin∠DBE=sin∠ABO= cos∠DBE=cos∠ABO= S= (3)符合要求的点有三个,x=0,-1.5,- ①当PE=PD时,过P作PQ⊥DE于Q cos∠PDQ=cos∠ABO= DE=2DQ= ②当ED=EP时,过E作EH⊥PD于H cos∠EDH=cos∠ABO= PD=2DH=2× ③当DP=DE时,即DE=1.5 ,DE= (1) 当x为何值时,⊙O与直线BC相切? (2)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y与x间函数关系式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少? 答案:解:(1)如图,设直线BC与⊙O相切于点D,连接OA、OD,则OA=OD= 在Rt⊿ABC中,BC= ⊿AMN∽⊿ABC,∴ ∴MN= 过点M作MQ⊥BC于Q,则MQ=OD= 在Rt⊿BMQ和Rt⊿BCA中,∠B是公共角 ∴Rt⊿BMQ∽Rt⊿BCA, ∴ ∴当x= (3)随着点M的运动,当点P 落在BC上时,连接AP,则点O为AP的中点。 ∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC ∴⊿AMO∽⊿ABP,∴ 故以下分两种情况讨论: ① 当0<x≤2时,y=S⊿PMN= ∴当x=2时,y最大= ② 当2<x<4时,设PM、PN分别交BC于E、F ∵四边形AMPN是矩形, ∴PN∥AM,PN=AM=x 又∵MN∥BC,∴四边形MBFN是平行四边形 ∴FN=BM=4-x,∴PF=x-(4-x)=2x-4, 又⊿PEF∽⊿ACB,∴( ∴S⊿PEF= 当2<x<4时,y=- ∴当x= 综合上述,当x= 9.(2010年河南中考模拟题4)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒). (2)设△OMN的面积为S,求S与t的函数关系式; (3)探求(2)中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,说明理由. 答案:解:(1)、(4,0)、(0,3) (2)当0<t≤4时,OM=t. 由△OMN∽△OAC,得 ∴ ON= 当4<t<8时, 如图,∵ OD=t,∴ AD= t-4. 由△DAM∽△AOC,可得AM= S=△OND的面积-△OMD的面积 = = (3) 有最大值. 方法一:当0<t≤4时, ∵ 抛物线S= 当4<t<8时, ∵ 抛物线S= ∴ S<6. 综上,当t=4时,S有最大值6. 方法二:∵ S= ∴ 当0<t<8时,画出S与t的函数关系图像,如图所示. 显然,当t=4时,S有最大值6. 10.(2010年河南中考模拟题5)二次函数 (1)试求 的 (3)是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形. 若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由. 答案:解:(1)将A(1,0),B(0,l)代入 (2)由(1)可知: 因为 整理得: 由图象可知: ∴ (3)① 由图可知,A为直角顶点不可能; ② 若C为直角顶点,此时与原点O重合,不合题意; ③ 若设B为直角顶点,则可知 令 得: 解得: 综上所述:不存在 11.(2010年河南中考模拟题6)如图,在平面直角坐标系x0y中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点。抛物线 (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连接DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长; (3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由。 答案:解:(1) (2) (3)点P在抛物线上, 设yDC=kx+b,将(0,1),(1,0),带入得k=-1,b=1, ∴直线CD为y=-x+1, ∵过点B作⊙O的切线BP与x轴平行, ∴P点的纵坐标为-1, 把y=-1带入y=-x+1得x=2, ∴P(2,-1), 将x=2带入 ∴点P在抛物线 12.(2010年吉林中考模拟题)甲船从A港出发顺流匀速驶向B港,行至某处,发现船上一救生圈不知何时落入水中,立刻原路返回,找到救生圈后,继续顺流驶向B港.乙船从B港出发逆流匀速驶向A港.已知救生圈漂流的速度和水流速度相同;甲、乙两船在静水中的速度相同.甲、乙两船到A港的距离y1、y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示. (1)写出乙船在逆流中行驶的速度.(2分) (2)求甲船在逆流中行驶的路程.(2分) (3)求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式.(4分) (4)求救生圈落入水中时,甲船到A港的距离.(2分) 答案:解:(1)乙 (2)甲船在逆流中行驶的路程为 (3)方法一: 设甲船顺流的速度为 由图象得 解得a 当0≤x≤2时, 当2≤x≤2.5时,设 把 ∴ 当2.5≤x≤3.5时,设 把 ∴ 方法二: 设甲船顺流的速度为 由图象得 解得a 当0≤x≤2时, 令 当2≤x≤2.5时, 即 令 当2.5≤x≤3.5时, (4)水流速度为 设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中. 根据题意,得 解得 即救生 13.(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)如图1,把一个边长为2 (1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标; (2)如图2,另一个边长为2 ①直接写出点 ②如图3,当正方形 求点G的坐标. 图3 图2 图1 答案:解: (1)y=- ①yA'=- 14.(2010年铁岭市加速度辅导学校)如图,在直角梯形 (1)求 (2)求直线 y x A B D M O 解:(1) (2)由(1)得: (3)依题意:当 分别过 y x A B D M O N F E 易证得 整理得: y x A B D M O P E 由此, 当 此时, 易证: 综上所述: (1)解法2: 易求得: (3)解法2:分别过 由(1)得, 即: 设经过 则 依题意:当 整理得: 当 整理得: 综上所述: 15.(2010天水模拟)如图,在平面直解坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0)(4,3),动点M,N分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位的速度运动,其中点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点N作NPBC,交AC于点P,连结MP,当两动点运动了t秒时。 (1)P点的坐标为(4-t, (2)记△MPA的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<4) (3)当t= 秒时,S有最大值,最大值是 (4)若点Q在y轴上,当S有最大值且△QAN为等腰三角形时,求直线AQ的解析式。 (1)4-t, (2)S= (3)当t= (4)设Q(0,m)①AN=AQ AN2=AQ2 22+32=16+M2 M2=-3 ∴此方程无解,故此情况舍去. ②AN=NQ AN2=NQ2 13=22+(3-m)2 3-m=± ∴Q=(0,0) ∴AQ:y=0 ③NQ=AQ 4+(3-M)2=16+M2 M=- 16.(2010年厦门湖里模拟)已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根,k为正整数. (1)求k的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式; (3) 在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答:当直线y= 答案:解:(1)由题意得,Δ=16-8(k-1)≥0.∴k≤3. ∵k为正整数,∴k=1,2,3. (2)当k=1时,方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零; 当k=2时,方程2x2+4x+k-1=0无整数根; 当k=3时,方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根 综上所述,k=1和k=2不合题意,舍去;k=3符合题意. 当k=3时,二次函数为y=2x2+4x+2,把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6. (3)设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点,则A(-3,0),B(1,0). 依题意翻折后的图象如图所示. 第16题图 当直线 当直线 由图象可知,符合题意的b(b<3)的取值范围为 A B C O x y (1)求抛物线的解析式及其顶点 (2)设直线 (3)过点 答案:(1)设抛物线解析式为 (2)假设满足条件的点 由 它与 则 又 平方并整理得: (3)由上求得 ①若抛物线向上平移,可设解析式为 A B C O x y D F H P E 当 ②若抛物线向下移,可设解析式为 由 有 18.(2010 河南模拟)如图,经过x轴上A(-1,0)、B(3,0)两点的抛物线 第18题 (2)若 (3)在(2)的条件下,能否在抛物线上找到另外的点Q,使△BDQ为直角三角形?如果能,请直接写出点Q的坐标,如不能,说明理由。 答案:(1)D(1, (2) (3) 第19题 D ( 4,6),且AB= (1)求点B的坐标; (2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点P,使得 S△ABC = S梯形ABCD ?若存在,请求出该点坐标,若不存在,请说明理由. 答案: (1)在RtΔABC中, , 又因为点B在x轴的负半轴上,所以B(-2,0) (2)设过A,B,D三点的抛物线的解析式为 将A(0,6),B(-2,0),D(4,6)三点的坐标代入得 (3)略 第20题 (1)求这条抛物线的解析式; (2)如图,设抛物线的顶点为C,对称轴交x轴于点D,在y轴正半轴上有一点P,且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似,求P点的坐标. 解:(1)设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3). ∵过E(0,6),∴6=a×3 ∴a=2, ∴ y=2x2-8x+6 (2)y=2 ∴C(2,-2).对称轴直线x=2,D(2,0). △ACD为直角三角形,AD=1,CD=2,OA=1. 当△AOP∽△ACD时, ∵ P在y轴正半轴上,∴P(0,2). 当△PAO∽△ACD时, P在y轴正半轴上,∴P(0, 21.(2010广东省中考拟)如图10,在平面直角坐标系中,二次函数 与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0) OB=OC ,tan∠ACO= (1)求这个二次函数的表达式. (2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度. _ y _ x _ O _ E _ D _ C _ B _ A 图10 _ G _ A _ B _ C _ D _ O _ x _ y 图11 答案:(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0) 将A、B、C三点的坐标代入得 解得: 所以这个二次函数的表达式为: 方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0) 设该表达式为: 将C点的坐标代入得: 所以这个二次函数的表达式为: (注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分) (2)方法一:存在,F点的坐标为(2,-3) 理由:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为: ∴E点的坐标为(-3,0) 由A、C、E、F四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F,坐标为(2,-3) 方法二:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为: ∴E点的坐标为(-3,0) ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,― 代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合 ∴存在点F,坐标为(2,-3) (3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R), ②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0), 则N(r+1,-r), 代入抛物线的表达式,解得 ∴圆的半径为 (4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q, 易得G(2,-3),直线AG为 设P(x, 当 此时P点的坐标为 (2)P为x轴负半轴上一点,以AP、AC为边作 答案:(1) (2)联立 设P(a,0),则Q(4+a,2) ∴ ∴ ∴Q(-3,2)或(1,2) (3)∵△AND~△RON,∴ ∵△ONS~△DNO,∴ ∴ 23.(黑龙江一模)(本小题满分10分) 如图,已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8). (1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标; (2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; 答案: (1)设抛物线解析式为 顶点 (2)假设满足条件的点 由 它与 则 又 平方并整理得: (3)由上求得 A B C O x y D F H P E 当 当 ②若抛物线向下移,可设解析式为 由 有 24.(济宁师专附中一模) 如图,直线 (1)求 (2)如果点 答案: 解(1)M(3,0) N(0,4); (2) 第二种情况:当P2在x轴且在M点的左侧时,P2坐标是(0,0) 第三种情况:当P3在x轴且在M点右侧时,P3坐标是(6,0) 第四种情况:当P4在y轴且在点N上方时,P4的坐标是(0,8) 综上,P坐标是(0,0)(6,0)(0,8) A B O C -1 1 y x 第25题图 (1)求抛物线y= ax2 + bx + c 的解析式; (2)求△AOC和△BOC的面积比; (3)在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小。 若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由。 解:(1)∵抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,且对称轴为直线x=1, ∴点B的坐标为(3,0),∴可设抛物线的解析式为y= a(x+1)(x-3) y A B O C -1 1 x 第25题图 P D ∴a=1,∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3), 即y=x2-2x-3 (2)依题意,得OA=1,OB=3, ∴S△AOC∶S△BOC= =1∶3 (4) 在抛物线y=x2-2x-3上,存在符合条件的点P 。 解法1:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。 ∵AC长为定值,∴要使△PAC的 周长最小,只需PA+PC最小。 ∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,3) ∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。 设直线BC的解析式为y=kx-3 ,将B(3,0)代入得 3k-3=0 ∴k=1。 ∴y=x-3 ∴当x=1时,y=-2 .∴点P的坐标为(1,-2) 解法2:如图,连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC。设直线x=1交x轴于D ∵AC长为定值,∴要使△PAC的 周长最小,只需PA+PC最小。 ∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B(3,0),抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,3)∴由几何知识可知,PA+PC=PB+PC为最小。 ∵OC∥DP ∴△BDP∽△BOC 。∴ ∴DP=2 ∴点P的坐标为(1,-2)
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