分式方程经典试题集锦

　　一、分式方程：

　　1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。

　　2、解分式方程的基本思想是：“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。这就是“转化思想”。

　　3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。

　　4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。应当舍去。因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。也可以代入去分母时乘以的最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。

　　例5，解方程： 。

　　分析：本 题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。

　　解：将原方程变形：

　　去分母：方程两边同乘以2(x+3)得： 4+3(x+3)=7,

　　去括号：4+3x+9=7

　　移项：3x=7-4-9

　　合并同类项：3x=-6

　　系数化为1：x=-2

　　检验：把x=-2代入原方程

　　左边= =2+ = ，

　　右边= = ，

　　∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。

　　注：把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。

　　例6，解方程： =1- 。

　　分析：本题方程中分母含有未知数，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，此题中分母应先按x的降幂排列，再因式分解，这样便于找最简公分母。

　　解：原方程变形： =1-

　　去分母：方程两边同乘以(x-7)(x-1)，

　　得：(x-3)(x-7)-(x-5)(x-1)=(x-7)(x-1)-(x²-2)

　　去括号：x²-10x+21-x²+6x-5=x²-8x+7-x²+2

　　合并同类项：-4x+16=-8x+9

　　移项：-4x+8x=9-16

　　合并同类项：4x=-7

　　系数化为1：∴x=-

　　检验：将x=- 代入(x-7)(x-1)

　　∵(x-7)(x-1)=( - -7)( - -1)≠0,

　　∴x=- 是原方程的解。

　　注：（1）在进行方程变形中： = ， =- 。（2）去括号时-(x-5)(x-1)=-(x²-6x+5)=-x²+6x-5，-(x²-2)=-x²+2以上几处的变形中不要出现错误，注意分式符号法则的应用及去括号的应用。（3）去分母时原方程中，右边的第一项是整式，千万不要忘记同乘以最简公分母 (x-7)(x-1)。

　　例7，解方程： 。

　　解：原方程化为： ，

　　去分母：方程两边同乘以x(x+1)(x-1)，

　　得：7(x-1)+3(x+1)=6x

　　去括号：7x-7+3x+3=6x

　　移项：7x+3x-6x=7-3

　　合并同类项：4x=4

　　系数化为1：∴x=1

　　检验：把x=1代入x(x+1)(x-1)

　　∵x(x+1)(x-1)=1×(1+1)(1-1)=0,

　　∴x=1是原方程的增根，舍去。

　　∴原方程无解。

　　例8，解方程： - - + =0。

　　分析：本题直接去分母，则方程两边就要乘以最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，这样计算比较复杂，因此，我们可采用分组通分的方法，化简，然后再去分母化成整式方程来解。

　　解法（一）：原方程化为： - = -

　　将方程两边分别通分：

　　 = ，

　　化简： = ，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　去分母，方程两边同乘以 (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)：

　　(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)

　　去括号：x²-8x+15=x²-6x+8

　　移项：x²-8x-x²+6x=8-15

　　合并同类项：-2x=-7

　　系数化为1：∴x=

　　检验，将x= 代入最简公分母(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

　　∵ (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=( -2)( -3)( -4)( -5)≠0

　　∴x= 是原方程的解。

　　解法（二）：分析：如果一个分式的分子与分母同次或分子的次数高于分母的次数时，可采用竖式除法化简每一个分式。如 = =1+ 。

　　解：原方程可变形为：（1+ ）-（1+ ）=（1+ ）-（1+ ）

　　化简得： - = -

　　将方程两边分别通分：

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　去分母，方程两边同乘以(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)，

　　得：(x-3)(x-5)=(x-2)(x-4)

　　去括号：x²-8x+15=x²-6x+8

　　移项：x²-8x-x²+6x=8-15

　　合并同类项：-2x=-7

　　系数化为1：∴x=

　　检验：将x= 代入(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)≠0，

　　∴x= 是原方程的解。

　　二、解分式方程时注意以下几个问题：

　　1、方程两边同乘以最简公分母时，每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘；

　　2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母，若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号；

　　3、由于分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式，方程可能会产生增根，故必须对求得的根进行检验，这一步必不可少；

4、当分式方程的分母是多项式，为了找最简公分母，需把分母分解因式。

 

同步检测

一选择

1.下面是分式方程的是（           ）

A.       B.      

C.    D.

2.若 得值为-1，则x等于(           )

A.        B.       C.      D.

3.一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（        ）

A.    B.

C.    D.

4.分式方程 的解为（           ）

A.2         B.1             C.-1           D.-2

5.若分式方程 的解为2，则a的值为（             ）

A.4          B.1          C.0          D.2 

6.分式方程 的解是（         ）

A.无解     B.x=2      C. x=-2       D. x=2或x=-2

7.如果关于x的方程 无解，则m等于（         ）

A.3      B. 4        C.-3      D.5

8.解方程 时，去分母得(           )

A.（x-1）（x-3）+2=x+5                  B. 1+2（x-3）=（x-5）(x-1)

C. (x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1)             D.(x-3)+2(x-3)=x-5

二、填空

9.已知关于 的分式方程 的根大于零，那么a的取值范围是             .

10.关于 的分式方程 有增根 =-2，那么k=         .

11.若关于 的方程 产生增根，那么m的值是            .

12.当m=          时，方程 的解与方程 的解互为相反数.

13.为改善生态环境，防止水土流失，某村拟定在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20课，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程为                                 .

14.如果 ，则A=                ；B=                  .

三、解答题

15.解分式方程

⑴                           ⑵

(3）                          （4）

16.已知关于 的方程 无解，求a的值？

17.已知 与 的解相同，求m的值？

18.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：

小明：“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！”

爸爸：“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的 倍，用 元给汽车加的油量比去年少 升.”

小明：“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？”

聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？

19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：

⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？

⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？

 

参考答案

一、选择

1.D     2.C     3.B       4.A     5.A      6.B    7.A     8.C  

二、填空

9.a<2    10.1   11.1      12.m=-3    13.    14.3， 2

三、解答题

15.⑴ 解：方程变形为

两边同时乘以(x²-9)得,x-3+2x+6=12,x=3,经检验x=3是原方程的增根，故原方程无解.

⑵ 解：两边同时乘以（x²-4）得x(x+2)-(x+14)=2x(x-2)-(x²-4)；整理得，5x=18, ,经检验 是原方程的解.

(3）解：方程两边同时乘以想x(x²-1)得，5x-2=3x,x=1,经检验x=1是原方程的增根,故原方程无解.

(4）.解：两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x(2x+3)-(2x-3)=(2x-3)(2x+3)

整理得4x=-12,x=-3，经检验x=-3是原方程的根.

16.解：因为原方程无解，所以最简公分母x(x-2)=0,x=2或x=0；原方程去分母并整理得a(x-2)-4=0;将x=0代入得a(0-2)-4=0,a=-2;将x=2代入得a·0-4 =0,a无解，故综上所述a=-2.

17. 解： ，x=2,经检验x=2是原方程的解，由题意可知两个方程的解相同，所以把x=2代入第二个方程得 ，故m=10.

18. 解：设去年5月份汽油的价格为x元/升，则今年5月份的价格为1.6x元/升，依题意可列方程为 ，解得x=3，经检验x=3是原方程的解也符合题意，所以1.6x=4.8，故今年5月份汽油的价格是4.8元/升.

19.解：⑴设甲工程队单独完成该项目需要 天，乙单独完成该项目需要 天，依题意可列方程组为

解得 ，经检验 是原方程组的解，也符合题意.

⑵设甲、乙两工程队分别施工a天、b天，由于总施工费用不超过22万元，可得 ，解得 ，b取最小值为40.

故⑴甲、乙两工程队单独完成此项目分别需40天、60天.⑵乙工程度至少要施工40天.