中考折叠分类例析

折叠是实行新课标以来一种新型的问题，在中考试题中屡见不鲜，这类题目主要是考查学生的轴对称知识的掌握情况，下面通过几个例子进行分类解析。

一、判别折叠后图形的形状。

例1．（2011年福建龙岩）右图可以折叠成的几何体是（   ）

                                       

A．三棱柱     B．四棱柱     C．圆柱        D．圆锥

解析：考查学生对简单立体图形的空间想象的观念，也可以动手操作完成。难度较小，答案选A。

 

 

二、求折叠后线段的长度。

例2.（2011年四川绵阳）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.

 

解：∵E点在A上，F在CD上，因为A、C点重合，EF是折痕，设他们交与O点，
                                                  

∴AO=CO，EF⊥AC，
∵AB=8，BC=4，
∴AC=

，
∵AE=CE，
∴∠EAO=∠ECO，
∴△OEC∽△BCA，
∴OE：AB=OC：BC，
∴OE=

，
∴EF=2OE=

．故答案为：

．

点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，解题的关键是做好辅助线找到相关的相似三角形．

三、             求折叠后图形的面积。

例3．（2010年山东省青岛市）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是        cm²． 

                       

 

解：设AE=A′E=x，则DE=5-x；
在Rt△A′ED中，A′E=x，A′D=AB=3cm，ED=AD-AE=5-x；
由勾股定理得：x²+9=（5-x）²，解得x=1.6；
∴①S_△DEF=S_{梯形A′DFE}-S_△A′DE= 12（A′E+DF）×A′D- 12A′E×A′D
= 12×（5-x+x）×3-12×x×3
= 12×5×3－12×1.6×3=5.1（cm²）；

点评：此题主要考查了折叠问题，得出AE=A′E，根据勾股定理列出关于x的方程是解决问题的关键．

 

四、             求折叠后图形的周长。

例4、（2009年衢州）在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（   ）

A．9.5  B．10.5   C．11  D．15.5

                                        

解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形，
∴△EDF≌△EAF，
∴∠AEF=∠DEF，
∵AD是BC边上的高，
∴EF∥CB，
又∠AEF=∠B，
∴∠BDE=∠DEF，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
∴EF为△ABC的中位线，
∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE+EF+AF=

（AB+BC+AC）=

（12+10+9）=15.5．
故选D．

点评：本题考查了中位线定理，并涉及到图形的折叠，认识到图形折叠后所形成的图形△AEF与△DEF全等是解题的关键．

五、             求折叠后角的度数。

 

例5、（2010年浙江省东阳市）如图，D是AB边上的中点，将

沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若

，则

__  __度．       

解：∵D是AB边上的中点，

∴AD=BD

∵将
沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，

∴AD=FD

∴BD=FD，由∠B=50°知∠BDF=80°。

 

点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等。

 

六、             求折叠后线段的比值。

例6．（2009年四川绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD = 4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE:AC =（   ）

A．1:3           B．3:8          C．8:27            D．7:25

                                                  

解：从D，E处向AC作高DF，EH．
设AB=4k，AD=3k，则AC=5k．
由

的面积=4k×3k=5k×EH，得EH=

；
根据勾股定理得CH=

．
所以DE=5k－

×2=

．
所以DE:AC=7：25．
故选D．

点评：本题的关键是利用折叠的特点及三角形面积的计算，求得EH，CH的长，从而求得DE的长，然后求比值。

 

七、             求折叠后的三角函数值。

例7. （2011年福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（    ）

                                                           

       A．

       B．

         C．

        D．

解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF=

=

．故选C．

点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的性质．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．

 

八、             有关折叠的探究题。

例8．（2009年山西省太原市）问题解决

如图（1），将正方形纸片

折叠，使点

落在

边上一点

（不与点

，

重合），压平后得到折痕

．当

时，求

的值．  

 

类比归纳

在图（1）中，若

则

的值等于   ；若

则

的值等于    ；

若

（

为整数），则

的值等于   ．（用含

的式子表示）

方法指导：为了求得

的值，可先求

、

的长，不妨设：

=2

联系拓广

 如图（2），将矩形纸片

折叠，使点

落在

边上一点

（不与点

重合），压平后得到折痕

设

则

的值等于         ．（用含

的式子表示）

 

 

解：如图（1-1），连接

． 

 

       由题设，得四边形

和四边形

关于直线

对称．

       ∴

垂直平分

．∴

       ∵四边形

是正方形，∴

       ∵

设

则

        在

中，

．

       ∴

解得

，即

       在

和在

中，

，

，

       设

则

∴

       解得

即

       ∴

     

类比归纳

（或

）；

；

联系拓广

点评：本题考查图形的翻折变换，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合应用，由于计算量较大，需要细心求解．