中考中的一次函数应用题求解策略

1  试题概述

 

一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。

 

一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。

 

一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。⑷一次函数多种变量及其最值问题。

 

2  试题例析

 

2.1方案设计问题

 

⑴物资调运

 

例1.（2008年重庆第27题）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。

 

（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？

 

（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；

 

（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：

	A地	B地	C地
运往D县的费用（元/吨）	220	200	200
运往E县的费用（元/吨）	250	220	210

为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

 

解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。

 

⑴直接用一元一次方程求解。运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨，设运往E县m吨，则运往D县（2m-20）吨，则m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程组求解）

 

⑵由⑴中结论，并结合题设条件，由A地运往D的赈灾物资为x吨，可将相应数量关系列表如下：

	A地（100吨）	B（100吨）	C（80吨）
D县（180吨）	x（220元/吨）	180-60-x   =120-x（200元/吨）	60（200元/吨）
E县（100吨）	100-x（250/吨元）	100-20-（100-x）   =x-20（220元/吨）	20（210元/吨）

表格说明：①A、B、C、D、E各地后括号中的数字为调运量或需求量；

 

②表格中含x的式子或数字，表示对应地点调运数量；

 

③表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。

 

     确定调运方案，需看问题中的限制条件：①B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。②B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。故：

 

  解得 

 ∴40＜x≤45    ∵x为整数

 

∴x的取值为41，42，43，44，45    则这批救灾物资的运送方案有五种。

 

方案一：A县救灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；

 

        B县救灾物资运往D县79吨，运往E县21吨。   （其余方案略）

 

⑶设运送这批赈灾物资的总费用为y，由⑵中表格可知：

 

y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20

 

 =-10x+60800

 

∵y随x增大而减小，且40＜x≤45，x为整数，

 

∴当x=41时，y有最大值。

 

该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：y=-10×41+60800=60390（元）

 

求解物资调运问题的一般策略：

 

⑴用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；

 

⑵根据表格中量的关系写函数式；

 

⑶依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；

 

⑷根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。

 

物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。

 

⑵方案比较

 

例2.（2008年盐城）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）。现有两种购买方案：

 

方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元；（总费用=广告赞助费+门票费）

 

方案二：购买方式如图2所示。

解答下列问题：

 

⑴方案一中，y与x的函数关系式为               ；方案二中，当0≤x≤100时，y与x的函数关系式为             ，当x＞100时，y与x的函数关系式为             。

 

⑵如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。

 

⑶甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？

 

解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联系紧密。比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。

 

⑴中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y₁=60x+10000（x≥0）；方案二的函数关系由图象给出，用待定系数法求解。当0≤x≤100时，图象为过原点的线段，函数式为正比例函数，可求得y₂=100x（0≤x≤100）；当x＞100时，图象为不过原点的射线，函数式为一次函数，过（100，10000），（150，14000），可求得y₂=80x+2000（x＞100）。

 

⑵购买门票超过100张，比较那种方案最省，了先使y₁=y₂，求出此时x的值。然后利用不等式确定方案。

 

当y₁=y₂时，60x+10000=80x+2000，解得x=400，即购买400张门票，两种方案费用相同。

 

当y₁＞y₂时，解得x＜400，则当100＜x＜400时，选择方案二，总费用最省；

 

当y₁＜y₂时，解得x＞400，则当x＞400时，选择方案一，总费用最省。

 

⑶分两种情况讨论：（用方程求解）

 

①甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＜100）张，则乙买700-m张。

 

100m+60（700-m）+10000=58000  解得m=150（不合题意，舍去）

 

②甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m＞100）张，则乙买700-m张

 

80m+2000+60（700-m）+10000=58000  解得m=200，700-m=500

 

求解方案比较问题的一般策略：

 

⑴在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。

 

⑵方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。

 

⑶方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。

 

方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。

 

2.2分段函数问题

 

⑴分段价格

 

例3.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费

元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨

元收费，超过10吨的部分，按每吨

元（b＞a）收费．设一户居民月用水

吨，应收水费

元，

与

之间的函数关系如图13所示．

 

 

（1）求

的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？

 

（2）求

的值，并写出当x＞10时，

与

之间的函数关系式；

 

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？

 

解析：（1）当

时，有

．将

，

代入，得

．

 

用8吨水应收水费

（元）．

 

（2）当x＞10时，有

． 将

，

代入，

 

得

   ∴

．     故当x＞10时，

．

 

（3）因

，

 

所以甲、乙两家上月用水均超过10吨．

 

设甲、乙两家上月用水分别为

吨，

吨，

 

则

      解之，得

 

故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．

 

解分段价格问题的一般策略：

 

⑴分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。

 

⑵分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。

 

⑶分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。

 

⑵几何图形中的动点

 

例4.（2008年长沙第25题）在平面直角坐标系中，一动点P（

，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间

（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.

 

 

         （图①）        （图②）                      （图③）   

 

（1）s与

之间的函数关系式是：                   ；

 

（2）与图③相对应的P点的运动路径是：                                ；P点出发         秒首次到达点B；

 

（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.

 

解析：(1)由图象可知为正比例函数。S=

(t≥0)  (2)由图象③，M纵坐标为0变为1，则路径为：M→D→A→N， 10秒

 

 (3)当3≤s＜5，即P从A到B时，y=4-s；

 

当5≤s＜7，即P从B到C时，y=-1；

 

当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．（补全图象略．）

 

求解几何图形中的动点问题一般策略：

 

⑴解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。

 

⑵在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。

 

⑶动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。

 

2.3数形结合由“形”求式

 

⑴单个函数图象

 

例5.（2008年南京）28．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为

，两车之间的距离为

，图中的折线表示

与

之间的函数关系．

 

 

根据图象进行以下探究：

 

信息读取

 

（1）甲、乙两地之间的距离为         km；

 

（2）请解释图中点

的实际意义；

 

图象理解

 

（3）求慢车和快车的速度；

 

（4）求线段

所表示的

与

之间的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

 

问题解决

 

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

 

解析：（1）900； （2）图中点

的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．

 

（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为

；

 

当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为

，所以快车的速度为150km/h．

 

（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶

到达乙地，此时两车之间的距离为

，所以点

的坐标为

．

 

设线段

所表示的

与

之间的函数关系式为

，把

，

代入得

 

          解得

 

所以，线段

所表示的

与

之间的函数关系式为

．

 

自变量

的取值范围是

．

 

（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．

 

把

代入

，得

．

 

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是

，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．

 

单个函数图象求“式”的一般策略：

 

⑴单个函数图象，尤其是折线图，在读图过程中一定要正确认识和理解图形上点的坐标的实际意义。

 

⑵要关注“折点”所表示的意义，用好折点坐标。

 

⑶用图象求函数式，多用待定系数法，因此要善于寻找图象上点的坐标。一方面可以从图象上寻找，此外还可以结合题设中的条件寻找。

 

⑵多个函数图象

 

例6　（2008年泰州第28题）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程

(千米)、

(千米)与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图像所提供的信息，解决下列问题：

 

 

（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_________小时；（2分）

 

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分）

 

（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过25千米。请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。

 

解析：本题由甲乙两个互相关联但又不同的行程问题构成，函数图象之间彼此相交。要解决好所求问题，必须深入认识和理解图象中的信息，尤其是已知点坐标的实际意义。

 

（1）由图象可知：AB段发生故障。时间为4.9-3=1.9 （小时）     

 

(2)要求甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米。即要求出B点的纵坐标。点B在线段BD上，且横坐标为4.9。只需求出BD所在直线的解析式即可。C是BD、EF交点，C点的横坐标为6，求出直线EF的解析式，则可得到C点坐标。从而求出BD解析式，得到B点纵坐标。

 

 设直线EF的解析式为

_乙=kx+b∵点E(1.25,0)、点F（7.25,480）均在直线EF上

 

∴

   解得

  ∴直线EF的解析式是y_乙=80X-100

 

∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，

 

∴点C的纵坐标为80×6—100=380     ∴点C的坐标是（6，380）

 

设直线BD的解析式为y_甲 = mx+n

 

∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上

 

∴

    解得

  ∴BD的解析式是y_甲=100_X -220  

 

∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y_甲得B（4.9，270）

 

∴甲组在排除故障时,距出发点的路程是270千米。

 

（3）符合约定

 

由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远。

 

在点B处有y_乙—y_甲=80×4.9—100—（100×4.9­—220）=22千米＜25千米

 

在点D有y_甲—y_乙=100×7—220—（80×7—100）=20千米＜25千米

 

∴按图像所表示的走法符合约定

 

多个函数图象求式问题的一般策略：

 

⑴一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。因其交点坐标同时满足两个图象的关系式。

 

⑵分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位置关系。图象在上方的函数图象，同一个自变量所对应的函数值大。由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变化关系。

 

2.4多变量及其最值问题

 

例7（2008年泰安第25题）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数

（亩）与补贴数额

（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额

的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益

（元）会相应降低，且

与

之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．

 

 

（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

 

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数

和每亩蔬菜的收益

与政府补贴数额

之间的函数关系式；

 

（3）要使全市这种蔬菜的总收益

（元）最大，政府应将每亩补贴数额

定为多少？并求出总收益

的最大值．

 

解析：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为：

（元）

 

（2）由题意可设

与

的函数关系为

    将

代入上式

 

得

   ∴

   ∴种植亩数与政府补贴的函数关系为

 

同理可得，每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为

 

（3）由题意

 

∴u

 

∴当

，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．

 

解多个变量及其最值问题的一般策略：

 

⑴一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。因此在求解过程中，一定要理清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。

 

⑵求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。二次函数则可用配方法或公式法求。

 

⑶对于函数式的求取，则主要是用列式法和待定系数法。