本文写了一两月有余，编辑公众号有四五个小时，绝对硬文，敬请期待！！！
纵观2020年宿迁中考数学卷，难度不大，但考题内涵丰富.本文主要就其中三道把关题展开探究：（本文笔者研究了一两月有余，尤其是对所谓“三大结构”展开深入研究，期望对大家有所启示！）
（宿迁老乡题，倍感亲切！！！）
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大戏开启！！！
反思：“见直角，造一线三直角”，这是垂直处理的常见策略.本题中，点Q的运动引起了点Q′的运动，从而引发线段OQ′长度的变化，在这个变化过程中存在着一些函数关系.方法一主动设出点Q的横坐标（t）作为自变量，将目标线段OQ′（的平方）作为函数值（因变量），借助“一线三直角”全等基本形，巧建函数关系式，再利用配方法求最值.这种函数建模的方法是动态最值类问题的一种常见的解题策略.
值得一提的是，此法看似只针对图示位置，其实对于点Q所在直线y＝－1/2x＋2的任意位置都同理可求，这也体现出类比思想，数学中的统一之美.
反思：同方法一，这里仍先采取“见直角，造一线三直角”的垂直处理策略，然后主动设元，利用点Q的坐标表示出点Q′的坐标，不同的是，方法二利用所谓解析法求得目标动点Q′所在的函数解析式，再利用其图像与x轴相交所成的锐角及交点，结合“斜化直”策略获解.另外，还涉及到直线与x轴相交所成锐角α与直线解析式中一次项系数k之间的关系（tanα＝│k│），即高中所谓斜率的几何意义.这种解析化思想是平面直角坐标系中一种常见的解题策略.
反思：主动点Q绕定点P顺时针旋转90°可得到点Q′，而“点动成线”，基于所谓“瓜豆原理”分析可知，点Q′的轨迹可由点Q的轨迹（即直线y＝－1/2x＋2）绕定点P顺时针旋转90°而来，故其轨迹仍是一条直线.这里先寻找点Q的一个特殊的确定位置（即定点Q1），将其绕定点P作相应的旋转，再结合旋转全等基本形（即“手拉手”结构）推得定角进得定线，顺利获解.“瓜豆原理”是此类主从联动最值问题的一种常见的解题策略，其应用过程不妨巧记为“两点打包，旋转成双；定角定线，轨迹自现”.
反思：此法依然借助“瓜豆原理”轻松判断点Q′在直线上运动，然后寻找点Q的两个特殊的确定位置（即定点Q1与定点Q2），将其绕定点P作相应的旋转，得到点Q′的两个确定位置，从而确定点Q′所在的直线解析式.
反思：此法先借助图形变换分析主从动点之间的关联性，再结合逆向思维，将目标线段（即OQ′） 反向旋转，从而实现最值转化（即OQ′的最值转化为O′Q的最值），变为常规的“点线最值”问题，最后利用“斜化直”策略获解，这是解决主从联动最值问题的又一“杀手锏”，其最大优势在于无需寻找目标动点（即点Q′）的运动轨迹，大大简化了思维量与计算量，不妨称为“反向瓜豆”.
五种解法相较而言，方法一与方法五最为简便，其最大优势都在于无需确定点Q′的运动轨迹，前者以算代证，思维量最少，后者反向旋转，将问题转化为常规的“点线距离”最值问题；方法二涉及的解析思想是平面直角坐标系中最通用的解题思想方法；方法三与方法四是基于图形变换下的主从联动分析策略，即所谓“瓜豆原理”，它是一类最值问题的通用解法.“一题多解，一题多思，一题多变，一题多联”，这样的解题方式是提高解题技能的有效方法.
反思：此法的优势仍在于无需确定点Q′的运动轨迹，一次简单的旋转，再加一个“手拉手”全等结构的识别，将问题轻松转化为常规的“将军饮马”模型.这种反向旋转策略是此类最值问题最简捷的通法，值得认真琢磨.
反思：同原来的问题，这里虽看似只针对图示位置进行求解，但其实对于点Q所在直线y＝－1/2x＋2的任意位置都同理可求，体现了方法与结论的统一性.该变式涉及到两个动点引起的面积最值问题，上述确定点Q′的运动轨迹方法不再适用，必须回归最基本的函数建模法，由此看来，函数建模才是最通用的解法，无论对于线段最值问题，还是对于面积最值问题都是普适的，这也是函数思想之所以是最重要的数学思想方法的原因之一.
一题多联，运用关联的视角看问题，发挥联想的机制来解题，变式2与2019年无锡中考填空压轴题如出一辙，请看下面两道类题：
反思：以上两道类题仍是垂直处理与函数建模结合的典例，需要巧妙地构造“一线三直角”全等三角形，主动设元，建立二次函数求最值.事实上，这种函数建模的意识在中考压轴题中的应用极其广泛，有时候还比较隐蔽，需要考生具体较强的分析能力以及一定的主动设元能力，譬如2020年江苏扬州中考最后两道压轴题等（限于篇幅，不再呈现）.
平时解题中，唯有发挥这种题组功能或问题串效应，方能大大提高解题技能，提升思维品质，在中考战场上立于不败之地.
反思：这里先由“到定点的距离等于定长的点的集合是圆”来判断目标动点Q的运动轨迹是一段圆弧，进一步判断出目标线段PQ所扫过的图形，最后结合扇形的面积公式获解.
一个题目的解决绝非是研究的终点，而应该恰恰是研究的起点.若就题论题，本题已然获解，但若充分联想，本题的价值必定会更大化，且看以下变式：
反思：此类动态问题，让目标动点（如点P或点Q）位于某些特殊的位置上（如角平分线、共线等），便可编出系列定值问题.这里限制一个共线位置（即P、Q、C共线），巧识“角平分线（折叠）＋平行（矩形）→等腰”结构，结合勾股定理轻松获解.
“小题怡情”，这样小巧的变式及编题训练可以大大提升学生的思维活性，一定程度上提升学生解题甚至编题技能.
反思：此类动态问题很容易与存在性问题关联（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形存在性），其解题要领是运用轨迹思想，判断动点的运动路径，结合分类讨论思想，画出符合题意的各类图形，数形结合进行求解.事实上，当画出符合题意的各种情形图时，动态问题也就变成了如同变式1的定值问题.
再看下面的等腰问题：
反思：此“两定一动”型等腰三角形存在性问题可借助所谓“两圆一线”法，借助“轨迹定位”精准画图，作出符合题意的情形图，然后导边导角进行求解.该变式因数据的特殊性，导致符合题意的等腰三角形只有两种，且其中一种恰为等边三角形.解题中往往需要抓住这样的“特殊性”，“特事特办”.
反思：“动中有静，变化中有不变量；动中有变，变化中自然有最值”，此类动态问题经常与最值挂钩，可改编成各种最值问题.该变式通过面积与线段的转化，衍变为常规的“线圆距离”问题.再看下面的最值变式：
反思：该变式的解题关键仍是轨迹思想，即通过判断点Q的运动轨迹来确定相切之最值状态.这种轨迹意识是解决最值问题的一大通法，可巧记为“眼中有动点，心中找路径”.
一题多变，一题多思，这样的解题、思题方式是提升解题能力的重要途径，值得深思并逐步形成这样的解题习惯，成绩的提高必水到渠成.
反思：本题设问层层递进，步步为营，充分展示了命题的艺术，解题人理应沿着命题人的思路拾级而下，方能类比探究出相应的解题思路.从识别“一线三直角”到构造“一线三直角”，再到构造“一线三等角”（含“一线三钝角”及“一线三锐角”），这种由“识别”到“构造”基本图形是实现几何思维能力质的飞跃之关键.作为学生要有自我培养从“识别”基本图形到“构造”基本图形的基本意识，这样的学习方式必然也会事半功倍.
思维无极限！这道宿迁中考压轴题的价值远远不是仅仅得到参考答案，在其基础上，若能充分联想，有机变式，还会有更加宽广的思维空间！
在未学相似知识之前（八年级），本题还可作如下全等改编：
反思：相似与全等是一般化与特殊化的经典案例，该全等变式体现了其与相似的共通属性，这种类比探究是问题解决的一种重要方式.全等适合于八年级（苏科版）学生，相似适合于九年级（苏科版）学生，从全等到相似，从相似到全等，也是一种所谓“长周期”学习的体现.对于同一个或同一类图形结构，不同学习阶段的学生理应有不同层次的认知能力，这本身也是学习的价值之所在.
事实上，本题涉及的模型可谓“来头巨大”，联系颇广，这得从经典的“婆罗摩笈多定理”（又称“布拉美古塔定理”或“卜拉美古塔定理”，可百度搜索之）说起：
反思：可以看出，所谓“婆罗摩笈多定理及其推论”，仅仅是圆与直角三角形中两个基本模型的应用，即直角三角形中斜边上的中线及高线模型.但该结论涉及的垂直到平分（或平分到垂直）极其有趣，这与宿迁倒二中考压轴题的结论有异曲同工之妙.
再回到宿迁这道中考题涉及的模型中来，先谈熟为人知的“手拉手模型”：
反思：以上两图是典型的“手拉手”结构，必存在“SAS”全等基本形，结合“8字形”导角，可说明对应线段BD与CE垂直且相等，最后借助角平分线的判定定理，通过作“双垂线”，利用全等法或面积法证得角平分线AF.
“站得高，方能望得远”，从图形变换的视角来看，点B由点C绕点A顺时针旋转90°得到，点D由点E绕点A顺时针旋转90°得到，故线段BD也必由对应线段CE绕点A顺时针旋转90°得到，从而BD与CE必垂直且相等.另外，对角平分线AF的证明，从全等三角形对应边上的高相等来看，AG与AH必相等.这样的话，以上结论均被秒杀.
反思：从“共顶点双等腰直角三角形”到“共顶点双等边三角形”，图形结构本质相同，结论相近，方法相仿，类比探究味浓.从“不重叠”到“重叠型”结构，再次体现图形变化但结论、方法统一不变之思想.
反思：一般化与特殊化是研究问题的一般路径，由特殊到一般，往往能揭示问题本质，发现一般规律；由一般到特殊，往往能突出特性，发现一些特殊规律或特殊解法.以上从等腰直角三角形到等边三角形，再到更一般的等腰三角形，是全等一般化的研究路径.若继续继续一般化，该模型还可以过渡到相似之路.
反思：从全等到相似是图形结构认知能力的一种提升，从对应边相等到对应边成比例是转化思想的进一步体现.这里还借助四点共圆进行导角，使得证明过程更加简捷，且共圆法对于上述的全等结构依然适用，也是此类问题处理的一种通法.当然，共圆法在初中阶段略有超纲之嫌，可借助“对顶相似必成对”来避开.
反思：这是更一般意义上的“手拉手”相似结构，△ADE可看作由△ABC绕点A先旋转后位似（放缩）而来，与此同时，△ACE可看作由△ABD绕点A先旋转后位似（放缩）而来，可简记为“旋转相似必成对”.进一步地，AF也由角平分线变为了更一般意义下的定角分线.并且，前述的四点共圆（或“对顶相似必成对”）结构在上图中仍存在.
以上各模型均可形象地称为“手拉手”结构，下面研究“脚蹬脚”结构：
反思：此法通过对称策略巧构中位线模型，将问题转变为常见的“手拉手”结构，轻松获解，妙不可言.由此看来，图3－33中的两个小的等腰直角三角形（即△ABC与△ADE）可看作图3－34中的两个大的等腰直角三角形（即△AC′C与△AEE′）沿着斜边上的高线“半分”而来，两者之间有千丝万缕的联系，故可补形还原来解决.
反思：“见中点，思倍长中线”，这是中点常见的处理策略之一，然后导边导角，结合全等解决问题.在导角的过程中用到了一个常见的结论，即“两边分别互相垂直（或平行）的角相等或互补（∠PED＝∠BAD）”，这个小结论在一些导角问题中常起意想不到之效.
倍长中线后容易出现平行四边形，本题还可有如下精彩结论：
该结论，同上证明△PED≌△BAD（SAS）即可，但已知两个等腰直角三角形外加一个平行四边形，结论又见一个等腰直角三角形，更显有趣.更有趣的是，其逆命题仍然成立，具体如下：
而且，这种从“倍长中线”到“平行四边形”的结论转化在后续系列结论中仍然适用.
反思：“见中点，取中点，构中位线”，这是中点的又一种常见处理策略，然后导边导角，结合全等解决问题.在导角的过程中仍涉及上述常用结论——“两边分别互相垂直（或平行）的角相等或互补（∠BMF＝∠FND）”.
反思：“见一个等腰直角三角形，再造一个等腰直角三角形，构共直角顶点双等腰直角三角形”，这是旋转全等构造常见的思路，然后导边导角证明全等，发现正方形BPDF是解题的关键.
反思：“见直角，造一线三直角”是垂直处理的常见策略之一，此法还涉及梯形的中位线模型（现行苏科版教材已删除），该结论可通过连接EG或过点E作CG的垂线段，转化为三角形的中位线加以证明，然后导边导角，顺利证明等腰Rt△BDF，从而解决问题.
从图形结构上理解几何模型，不同的结构对应不同的几何构造，这种从结构上构造几何模型的认知能大大提升解题能力.以上提供的六种证法都是基于不同的图形结构认知得到的不同构造法，这些方法是处理此类问题的一些通法，对于后续“重叠型”以及“一般化”等变式问题大多适用.
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