追求理想的教学状态是我们每个教学工作者的目标,在核心素养视角下，我们应该以一种理性的数学学习思维和教学心态去引领学生形成新型的研究型学习氛围，营造从问题开放到课堂开放，再到学生思维开放的教学环境，根据教材特点、教学内容，让学生用自我探究与合作交流的方式进行学习、体验过程，获取知识、培养能力。本文就如何构建“开放与探究”的数学课堂进行有益的思考并以案例加以说明。
一
数学开放题的教育价值
1．有利于培养学生学习数学的信心
数学开放题教学让学生经历问题解决过程，学生感到自己是一个探索者，能够激发学习的兴趣。由于无参考解决模式，探究过程多侧面，结果不唯一，所以学生的认知结构在研究中实现了重建，同时学生探究问题更接近思维的最近发展区，能促进更深入的思考。在宽松的学习环境里，点滴进步使学生不断累积成功的喜悦，内心深处将逐渐增强信心，对学生后续的学习与发展产生了积极的影响。
教师的适时引导，启发学生大胆质疑、猜测，学生的被动地位彻底颠覆，学生的主体性得到了完全的展示，从而培养了学习数学的信心。
2．有利于提高学生的数学探究能力
数学开放题教学能做到知识纵横贯通，思维或发散或收敛，是提高学生数学能力、培养学生数学核心素养的有效方式。在教学中，既有原始的感性思维，也有抽象的理性思维，更重要的是发展了批判思维。有了批判思维，在学习中学生能够自觉地思考一切可能的情况，不断探索，不断否定，去伪存真，就能获得独特的解决问题方案。同时在问题解决中能够再引出新问题，得出更一般的结论。数学开放题教学提供了学生交流、共享智慧的合作平台，使知识的接受过程变为知识的共生共长过程。在这种学习氛围中，实现了各种思想的碰撞，这是增强学生创造力、提高学生探究能力的重要途径。
3．有利于促进学生形成创新意识
创新是一个民族进步的灵魂，是国家发展的不竭动力。数学开放题教学不完全告诉学生问题的条件、结论或方法，要求学生借鉴多种方式如观察、猜想、分析、归纳、论证等，自己得出条件、结论或方法。数学开放题教学，引导学生从不同角度掌握、应用数学知识，主动搭建知识之间的网络关系，这样在面对复杂问题时更容易激活数学思维。数学开放题激发了学生的求知欲，发展了学生的发散性思维，从而形成了学生的创新意识。开放题教学还要求根据已解决、未解决的问题，再提出新问题，对新问题的进一步探索，培养了学生的创新精神。
二
数学开放题的教学探索
01
局部探究，加强对概念的深化和理解
对问题的局部探究过程中，学生不仅体验过程、感受乐趣，更重要的是加强对概念的深化和理解。在解题教学中，通过对数学问题的本质属性的挖掘和不同解法的探求以及各种变式的讨论，揭示数学知识问的内在联系，构建知识的有机整体，实现融会贯通和引申拓广，有助于学生思维的变通性、灵活性、流畅性、深刻性和发散性等多种思维品质的提高。
案例1感悟数学探究的方法（二次函数最值问题的研究教学设计）
教学流程：问题热点——问题探究——感悟本真。
【思考】你还能写出其它与上述不同结论吗？并判断给出的结论是否正确。
设计意图：通过上述问题，让学生回顾一元二次函数的知识，激活了基本经验积累，形成问题探究这一主体内容的解决问题的“工具包”，其中每一个选项在下面的问题探究过程中都有相应的作用，而热身问题解决后的思考，则具有很好的开放性，学生可以根据自主研究的成果各抒己见，为探究做好了知识与方法上的准备。
【问题探究1】
设计意图：通过对热身问题的特殊化研究，在不断的变式层层推进下，让学生感悟函数的本质，体会数形结合、函数与方程、转化与化归、分类与整合的数学思想方法。
【问题探究2】
设计意图：通过引入参数，进一步体会动态中的二次函数最值，运用探究1提供的方法，解决四个思考的新问题，其中让学生自己编拟新题将探究推向高潮。
【问题探究3】
设计意图：在这里设计一个具有拓展性的问题，意在培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生感悟分析题目的结构特征，大胆运用直觉思维，迅速作出判断，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质非常重要，从而拓宽学生的解题视野，把握解决问题的一般方法。
解题教学是数学教学的重要组成部分，波利亚曾指出：掌握数学就是善于解题，要把教会学生解题看作是教会学生思考，培养独立探索能力的一条主要而有效的途径。教学中教师普遍重视解题教学，但对解题训练核心价值的短视以及对解题教学缺少有效的指导，很容易使解题教学滑向题海战术的深渊。数学解题的核心价值是培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，最终发展学生的思维能力，正因为解题教学具有无可替代的价值，因此利用问题解决开展探究活动应当成为数学解题教学的重要选择，这正是上面案例试图想说明的事实。
案例2一个故事引发的思考
【问题】请你创作一个故事情境，故事中出现的一对变量x，y满足如图所示的关系，
要求：（1）说明变量 x 和y的含义；
（2）根据图中的数据描述这对变量变化过程的实际意义，需要涉及“速度”这个量。
分析：首先观察图象，通过数据分析，可以得到整个过程分三阶段。第一阶段y随x均匀增加，第二阶段y稳定不变，第三阶段y随x均匀减少。然后结合实际问题给出变量x和y的含义。最后由于要涉及“速度”这个量，充分直观想象只要准确描述时间及路程的变化关系即可。
说明：本题思维方式与解决办法不唯一，此类题是方法开放型，这类开放题一般出现在阅读题中。解决本题利用了数形结合等数学思想方法，学生可以设计很多不同的方案来完成此题。对于此类问题，要求学生思维敏捷，叙述要准确，符合生活现实。
案例3感悟数学模型的力量
【问题】函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如
情景3若干人站成如图所示的三角形状进行表演，第1排站9人，第2排站7人，往后每一排都比前一排少2人，最后一排站1人。用x表示排数，y表示第1排至第x排所站人数的和，y是x的函数吗？若是函数，请给出这个函数的对应关系、定义域与值域。
情境4在一次商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出9件。他想采用提高售价的方法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少1件。求每天所得的利润y（元）与每件提价x（元）之间的函数关系式。
情境5如图，在半径为5的半圆弧上取点C，过点C作CD⊥AB于D，以CD为边作正方形CDEF，设AD=x，求正方形CDEF的面积S与x的函数关系式。
说明：一题多变，就是对某一问题的引申和拓展，通过增加问题背景，提高发散程度，使问题不局限于某一框架之中，不受定势思维的束缚。对一题变出的多个题目，学生通过多角度、多侧面的探求，使自己在变化的相互比较中。思维能力迅速提高。课本中的不少题目看似平常，实际上却蕴藏着极其丰富的外延和内涵。教学中，如对这些命题进行变换和延伸，诱导学生从多角度、多方面、多层次探索和联想，进行一题多变训练，不仅会增加学生的知识信息获取量。加深对原题的理解。而且能在“改变”中激活学生的思维广阔性、探究性和创造性，培养创新能力，潜化创新意识。
案例4一个考题的设计
设计意图：
本题是一个开放性命题，其解决方案也是多元的，如果修改选项可以改编为多项选择题。
思路1将选项中的值逐一代入，得到4个一元二次方程，考查根的判别式和二次方程的解法并比较根与1的大小获得正确答案。
说明：不同的思路反映学生不一样的思维品质，解决问题的视野决定了能力的高低。在课堂上要引导学生弄清：麻烦的思路到底麻烦在什么地方，能不能变简单些? 简单的思路为什么会简单，对题设条件做了什么样的理解和处理? 题目和方法能否推广到更一般的情况?
（吴 锷 苏州市教育科学研究院）
关注公众号，
让教育研究助您专业成长。
联系客服
