2. 个人思考，未必正确，仅供教学参考。
最近看到有学校开学后的教学内容是：用“配方法”解一元二次方程。如何上好这一节课，在这里谈谈我的想法，供教师教学参考。
1.认识难点
以解方程x^2－2x－5=0为例。
可以这样讲，如果没有人指导，几乎没有人会解这样的方程。有人不服气，那是因为基于你现在已有的知识现状，试想，假如你第一次遇到这样方程，你会解决吗？如果不信，你可以挑一名优秀的初二升初三的学生，试试看呢？
当你尝试想解决这个方程时，困难在何处？
方程中有两处含有未知数，同时，这两处还不是“齐次”，无法合并。
我个人建议，对于数学中一些重要的词语，可以体现在我们的教学过程中，将这些词语口语化。如这里所说的“齐次”。万事开头难，经常说，学生也就慢慢懂了。又如“描述”，“刻画”，“量化”等这些词语，恰当表达这些词语，能够体现数学思想方法。
让学生体会难点，主要有两个目的：
⑴促进学生思考
有些问题虽然我们不会解决，但必须认真对待，积极思考，进入状态，想方设法解决问题。
现实中，一些学生遇到问题，稍有不会，便茫然无绪，懒于思考。甚至有人立即以“不会”而交差。因此，我们要及时教育学生，可以说不会，必须要思考，在思考后说出不会的原因，困难在何处。
⑵对比加深理解
有问题不会解决，这是正常的事情。经过思考后，感觉某个难点难以克服。对于多数人来说，自然产生好奇心，这个难点最终究竟如何解决？当教师津津有味讲解后，学生印象更加深刻。这里体现的是“没有思考，就没有欣赏”的效果。对于优秀学生来说，他或许会惊喜于处理问题的技巧，从此更加热爱数学。
对于我们教师来说，要有“回归初始之心”习惯。应静下心来，独立地思考，假如我第一次解决这个问题，我将遇到的困难是什么？想自己的初始之心，能理解学生之所想，这是了解认知学情的最好方式。
2.目标追求
想法：能否通过代数手段将一次项“化”掉。这是目标追求，能否实现，不得而知。但首先要敢想，敢想才有希望，敢想才有敢为。没有想法，什么都是空谈。
3.解决方法
这里提供三种解决方法，供教师教学时参考。
⑴待定常数，换元处理
设x=y＋m（高观点讲：作一个线性变换）。要求x，只要求y。
代入原方程得，（y＋m）^2－2（y＋m）－5=0，则y^2＋2（m－1）y＋m^2－2m－5=0。
为了消除一次项，令2（m－1）=0得，m=1，因此y^2－6=0．y=±根6。
从而x=1±根6。
⑵反向思索，原路返回
以解方程（x＋2）^2－3=0为例。
一方面，可以用“直接开平方法”可以求出x；
另一方面，也有可能不小心，将原方程展开变形：
x^2＋4x＋4－3=0，从而x^2＋4x＋1=0。
就局部而言，这样的解法“失败”了，但从中受到启示：假如原先给的就是这样的方程，那么前面的过程，对我们有什么启发呢？失败是成功之母，我们可以“原路返回”，从而解决问题。
在此基础上，可以通过一些特殊的例子，寻找“原路返回”的规律，从而学会解一般形式的一元二次方程。当然，这里也可以通过“待定系数”找到“原路返回”的规律。
⑶配凑意识，无缝对接
与公式（x＋m）^2=x^2＋2mx＋m^2比较，发现所有x^2＋px的形式，均可以作为“火车头”配成一个完全平方式，差异仅仅是常数项的调整而已。
这样的想法，类似几何中的“构造”，实际上是最难想到的。
恰恰相反，由于我们老师缺少自己的思考，往往喜欢直奔主题，直接教这种方法，然后训练形成技能。
教师总是急急忙忙将知识与方法直接教给学生，然后将大量时间花在练习上，却不愿意在真实的探究过程上花时间，这是急功近利的表现。
从理解的角度讲，一方面，可以说教师没有思考；但另一方面，教师也没有办法，因为应试压力大。
4.教法思辨
⑴传授与探究
泛泛而谈，数学教学需要重视探究过程。探究需要智力，需要时间，需要毅力，而这往往是优秀学生才具备的表现。对于普通平常的学生而言，这是“奢侈”要求。对于他们来说，能够学会新知识，通过练习，形成技能，这也是一个非常不错的结果。因此采取什么样的教法，往往因人而异，没有一成不变的做法。
以“有理数乘法”的“负负得正”运算法则为例，要通过生活情境提炼运算法则，这其实是一件非常困难的事情，既需要智力，也需要时间。
我担任多年初高中数学教研员，我经常拿这节课的例子来考高中数学教师：你能够通过生活中的例子说明有理数乘法法则“负负得正”的合理性吗？许多高中数学教师在思索一段时间无果后，都是笑笑放弃了。关于袁隆平说数学不讲道理的故事，就是说的这件事情。
何况刚刚从小学生升上来的初一学生，上课注意力时间短暂，通过绕来绕去的生活情境，很容易将学生绕晕。当得到法则后，再加以训练，这样的教学效果或许更差。
因此对于生源较为一般的农村初中来说，为避免出现前面那样的情况，可能选择“先死后活”的教法。所谓“先死后活”的教法，简单说：告知法则→运算训练→理解法则→……。“告知法则”也并非一上来直接将法则告诉学生，而是通过简要的方法，让学生合情推理得出法则。比如2×3=6，那么你认为2×（-3）=？……
在简要得出法则后，重在运算训练，在训练中掌握法则。当学生在运算上形成技能后，再来理解法则的合理性。
教无定法，贵则得法。根据不同学情，选择不同教法，这对教师来说，也是一种能力要求。
由此我联想到，作为教研员听课，对老师的评价也要给予理解与包容。有时候，教法很难有对错之分，没有一成不变的教法。只要充分了解学情，采取相应教学方法，就是比较科学的做法。
⑵形式与本质
多年的听课，让我纳闷的是，许多教师在“分式”，“一元二次方程”，“反比例函数”等这些概念的教学上，花费大量时间，进行所谓的“探究”归纳。形成概念后，还给出很多例子让学生判断。
在我看来，这些都是形式化的概念。出现这些概念，本意是“循序渐进学习；知识适当分类；方便交流名称”而已。这些概念在数学上，并没有什么本质价值。因此在这些概念的教学上，花费大量时间，实在没有必要。
正因为如此，探讨x^2＋2=5x＋x^2－1是不是一元二次方程；探讨x^2/x是不是分式，……，等等，都是非常无聊的事情。
非常巧合的是，在我撰写本文时，网上正有人讨论两个问题：x=1是不是方程？（x^2-1）/(x+1)是不是分式？
比较之下，本文研讨的配方教学，却极具教学价值。因为“配方”技巧富有数学思维。在这里花费一定时间，让学生思维得到提升，让学生欣赏数学中处理技巧，对数学学习大有帮助。
在一些形式化的概念花费大量时间，而在富有数学思维的处理技巧却一带而过，这让人很痛心。
5.素养拓展
但愿你已经忘记曾经学习过的高中数学知识，这样或许我们更加方便讨论下面的问题：
假如要你口算y=2sinx的最大值，你会吗？要你口算y=2sinx＋3cosx的最大值，你会吗？
为什么前者会，后者不会？当你真正想解决后面问题时，你会真切地产生苦恼：两处含有x，怎么办呢？有没有处理方法，让“两处”未知数变成只有“一处”未知数呢？
我想以这个例子类比说明，当你“从无到有”解一元二次方程x^2－2x－5=0时，你会真切地产生这样的苦恼，从而你更加理解学生遇到这个新问题时所产生的一些想法。
6.读史明智
读史可以明智。我多次在不同场合下，呼吁教师多读书，要多读一些科学人文史。作为数学教师，不读数学史，让人很无语。
针对本节课，我建议老师们抽空去读一读历史上如何解决一元二次方程，一元三次方程，一元四次方程的过程。
当你读完与此相关内容的数学史后，你可以了解历史上意大利文人之间的挑战；塔塔利亚与卡尔达诺之间的恩仇录；卡丹公式；伽罗华因“革命”而入狱，出狱后接受决斗而失去生命；阿贝尔的英年早逝。这些既可以让你了解一些非常有趣的故事，也为一些英才早逝而扼腕叹息。
需要说明的是，在解决前面三种类型的方程时，有一个步骤共同的，也是非常关键的！那就是必须先将比最高次项低一次的项“化掉”！
就一元二次方程而言，从x^2+px+q=0变形成(x+m)^2+n=0这个过程，往往给我们带来这样一个印象：通过配方，将除了最高次项外，其余项全部化成了常数项。
其实这样的想法是一个错觉。正确的理解应当是，总是将比最高次项低一次的项“化掉”。
比如说，为了解方程x^3＋ax^2＋bx＋c=0，总是通过“代数变换”或者“配方手段”，将ax^2这一项“消除”掉．……
为了解方程x^4＋ax^3＋bx^2＋cx＋d=0，总是通过“代数变换”或者“配方手段”，将ax^3这一项“消除”掉。……
了解这些宏大背景，站在这样专业高度，将会让你对“配方”有着更深刻的理解。
顺便说一句，对于一般形式下的“一元五次方程”乃至更高次数的一元高次方程时，不存在精确求根公式了。
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5.多少人参加会议。我上传几张现场照片……，权当解释，顺带宣传。
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