作者：佚名
一、引言
数学是一门极其重要而又非常特殊的学科。在历史上有很长一段时间它都与其他学科混在一起，难分泾渭。在古希腊的时候，数学与哲学之间的界限非常模糊，不少人认为数学是一种哲学；到文艺复兴时，由于数学在自然科学中的应用日趋广泛，法国数学家达朗贝尔在理论上确立数学为自然科学的一个门类，然而随着数学自身的发展，人们发现它比任何一门自然学科都更具普遍性，甚至在人文和社会学科的领域内它也可大显身手，逐渐地数学取得了独立的地位，二十世纪八十年代新版的《大不列颠百科全书》中，数学就已经与科学和哲学并列在了一起。[1]
在我国，数学也一直受到高度的重视，一九一九年蔡元培先生在北大“废科设系”时，曾把数学列为第一系，并解释道：“凡治哲学文学及应用科学者，都要从纯粹科学入手，治纯粹科学者，都要从数学入手，所以各系次序，列数学为第一系。”[2]
时至今日，考察任何一门学科发展的状况，我们都必须先考察它的数学化程度。英国著名的哲学家怀特海（Alfred North Whitehead，1861-1947）甚至这样说：“在今后两千年内，在人类思想领域里具有压倒性的新的情况，将是数学地理解问题占统治地位。”[3]
然而尽管数学有着如此重要的地位，关于它，我们还是有很多东西没有搞清楚，这其中甚至包括了最关键的几个问题：数学知识究竟是先天的还是经验的？它到底是从天而降还是应景而生的？它的对象和目的又是什么？历史上对这些问题的回答可谓五花八门，不一而足，但是归纳起来，不外乎以下几种：一派是经验主义者，即认为数学知识来源于对现实世界的考察和研究，它的目的是要揭露客观事物的规律和结构，持此类观点的人大多是经验主义者和唯物主义者，他们往往强调数学是自然科学的一个分支；一派是柏拉图主义者，他们认为数学知识来源于某个纯精神的世界，研究数学的目的就是要帮助人们认识和接近这个世界，代表人物是古希腊哲学家柏拉图（Platon，约公元前427—347年）；一派是形式主义者，他们认为数学是由人构造出来的，与客观世界无关，数学的真假性取决于系统的无矛盾性或者依靠先验的假定，代表人物是德国数学家希尔伯特（Hilbert，1862—1943）[4]。
本文打算就以上这些观点作一探讨和评述，并在此基础上提出作者自身的见解。
二、古希腊到文艺复兴时期
古希腊人对数学的认识有一个共同的特点，即把数学和世界等同起来，认为数学就是世界的本质。
毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580—500年）认为数是万物的本原，宇宙的和谐与次序都源自某种内在的数学次序。他认为数学知识是先验的，于是探索的重点就从物质转向形式，从感知世界转向了数学逻辑世界。
柏拉图在这方面比毕达哥拉斯走得更远，他认为不可能在可感觉的事物中找到数学概念，因为数学概念是独特的、绝对的纯在物，它来自于理念世界，对柏拉图而言，理念世界才是唯一真实的世界，而具体事物构成的世界则是不真实的、虚幻的，它们只是理念世界的投影或摹仿。数学的对象则是居于感性世界与理念世界的“居间者”，其目的在于看到那些只有用心灵才能看到的理念。[5]
亚里士多德（Aristoteles，公元前384—322）的观点与上述有较大不同，他的思想成为后来经验主义的源头。亚里士多德认为，只有具体的事物才是第一性的，感觉、概念只不过是具体事物的派生物而已，数和理念都不能离开具体事物独立存在，数学来自于现实世界，而不是由数学产生出现实世界，但是他同时认为数学知识是人们从心智上明了的原理出发经过分析而得出来的，甚至从具体对象所作的抽象，也是事先起源于心智的一些总的原理，这又回到了柏拉图那里。[6]
正如毕达哥拉斯学派所说“开端就是整体的一半”，毕氏思想也统领着西方思想的一半，[7]英国哲学家罗素（Russell，1872—1970）曾经说过，所谓柏拉图主义的东西，倘若加以分析，就可以发现本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了。[8]如果说毕达哥拉斯把数学从客观世界中“拯救”了出来的话，那么柏拉图所做的就是给这个神灵找到了一个天堂。
后来的思想发展虽然变化万千，但是大体的框架已定。在漫长的中世纪，没有多少新的理论出笼，无论是宗教界还是异端思想家都只不过是在炒柏拉图和亚里士多德的冷饭。一直到文艺复兴，理性的光芒开始重新闪耀，这段时期，为了对抗教会树立的亚里士多德的教条，也为了解释某些与客观事物远离，似乎是由人们凭空想象出来的数学概念，例如无理数、负数、虚数和微积分等等，柏拉图的观点再度风靡。
比较有影响的有这样一些：意大利哲学家库萨的尼古拉（Nicholas of Cusa，1401-1406）认为数学是从上帝那儿来的，上帝通过数、量、度创造万物；开普勒（Keplev，1571—1630，德国）曾经说：“对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的”；伽利略（G.Galilel，1564—1642，意大利）则坚持只有用数学表达的，才是真实的，他确信普遍而必然的数学真理具有经验以外的起源——上帝。[9]考察这些观点我们发现，无一例外，他们都把数学的源头追述到了上帝那里，数学在这个时期已经部分地成了神学的婢女，无论它自己是否情愿。
三、近代的一些观点
到十七、十八世纪时，人们对数学的认识开始转变，从用数学来论证上帝的英明到用上帝来证明数学的正确，再由上帝按数学设计了世界到世界的运动与上帝无关，上帝逐渐从幕后消失了，然而万变不离其综，无论数学跟上帝有没有关系，人们还是一相情愿地认为它就是真理的象征，而且这种真理性并不依赖于任何客观事物。这一段时期的数学哲学大致分为唯理论、经验论和先验论三个派别，笛卡儿（René Descartes，1596—1650）、穆勒（J·Mill，1773—1836）和康德（Kant，1774—1804）分别是其代表人物。
笛卡儿的数学观跟柏拉图是基本一致的，他认为数学的认识对象并不是现实世界的某个领域，他曾经这样来表述自己的看法：“一定有某种普遍科学能够解释人们关于秩序和度量所能探究的一切而不必涉及任一特殊物，而这种科学的称呼并不是一个奇特的名字，而是古已有之、约定俗成的一个名字，那就是，普遍数学。”[10]莱布尼茨在这一点上与笛卡儿可谓一脉相承，他把数学知识看作是纯理性、纯逻辑的产物，他认为全部算术和几何学都是天赋的，是实际存在于我们自身之中的，只要我们细心加以思考，就可以在心中发现它们，[11]由此出发，他把真理分为两类，一类是理性真理或必然性真理，另一类是事实真理或自然性真理，而数学是属于前一类的，这类真理不必寻源于感觉和经验。
但是在狭隘经验论者约翰·斯图亚特·穆勒的眼里，数学公理只是经验的一种陈述，它既不具有任何客观必然性，也不是什么先验的真理，它们与别的经验之不同仅仅在于它们比较简单，并且具有较宽广的基础。穆勒曾作过这样的阐述：“当人们肯定几何学的结论是必然的真理时，这种必然性实际上仅仅在于，这些结论是正确地从假定推演出来的。这些假定不是必然的，甚至也不是真的；它们或多或少地故意远离真理。……有待研究的是我们相信真理的理由究竟是什么——它们能依据的证据是什么。我回答：它们都是实验真理，都是观察的概括。”极端的经验论者孟克（G.W.Muncke，1772—1847）甚至这样说：“我们更需要的是观察和实验，而不是计算和几何学公式。”
英国经验论哲学家霍布斯（Hobes，1588—1679）曾经用几何公理来论证他的经验论，他认为，几何公理不是天赋的，而是来源于经验，但他同时又认为数学知识并不依赖于感性经验。我们必须看到，由于数学的许多新进展在经验中似乎找不到什么依据，一些哲学上的经验主义者并不持和穆勒相同的观点，比如英国著名的经验论者洛克（1632—1704）和休谟（Hume，1711—1776）就是如此，洛克认为有两种经验：一种是对外物作用的感觉，一种是对内心作用的反省，而数学知识属于后一种，就数学而言，不是观念必须符合于实在，而是事物于观念相符合；休谟则承认数学命题的必然性和先天性，他认为数学命题表明的只是观念之间的关系，而与客观事实完全无关[12]
由于经验论者不能很好地解释为什么个别的经验具有普遍的有效性，唯理论者在这期间一直占据着主导地位，这种局面要等到十九世纪后期才有所转变。
我们再来介绍一下康德的先验论，康德提出数学理性是凭直观构造得来的知识，从而具有先天综合性，他认为数学既不能由感觉经验证实，也不能仅仅由它所涉及的概念的本质联系而得到证实。他曾经这样说：“几何学的命题不是纯粹由我们幻想出来的一种产物的什么规定，因而不能可靠地涉及实在的对象；而是对于空间必然有效，从而对于空间里所有的东西都必然有效的命题。”[13]他的继承人中最为有名的莫过于法国数学家庞加莱（Poincare，1854—1912），庞加莱认为数学归纳法具有普遍性是精神本身的特性，这正是先验的综合判断的实例，从而可以证明康德的先天综合学说，他的思想成为后来数学哲学中直觉主义的先声。
四、二十世纪三大数学哲学流派的理论
十九世纪以来，科学技术有了巨大的发展，数学同样也有了长足的进步。然而随着纯数学研究的日益抽象化，人们逐渐忘记了它的现实根源，这好比当你惊叹于一座摩天大厦的高耸入云时，就开始不由自主地怀疑它是否真的建立在平淡无奇、司空见惯的土壤之上了。
但是数学的发展及时给大家敲了一个警钟，经过漫长的几代人的努力，到二十世纪初，非欧几何终于得到了数学界的公认，这件事对数学思想的发展具有极其重要的影响。我们可以从两个方面来看待这个问题，第一，非欧几何的产生是数学思想离开感性直观，进行抽象的，亦即独立于（相对地）人类的实践而发展的一个里程碑，它的成功把人们的思想从“数学结论必须符合感性直观”这一信仰的束缚中解放了出来。人们开始认识到数学在某种意义上只是人的精神的创造物，而不是对客观现实的直接描摹，这样一来，就使数学获得了极大的自由；第二，非欧几何的产生迫使人们重新来考虑欧氏几何的真理性问题，我们发现，欧氏几何之所以被认为是真理，只不过是因为它来自于我们的视觉观念已经习惯的环境，如果我们生活在另外一种完全不同的环境中，而该环境的几何结构又显著地与欧氏几何不同，我们就会与新的环境相适应，学会理解非欧几何的定律，一如我们现在看待欧氏几何一样，亥姆霍兹（Helmholtz，1821—1894）据此否定了欧氏几何公理的先天特性，还给它本来的世俗经验血统，他同时还认为对“算术公理的起源也必须采取同样的观点。”他的论文被认为是19世纪下半叶数学哲学概念发展中划时代的著作，著名数学史学家克莱因曾经说过：“对算术真理的最沉重的打击来自亥姆霍兹。”[14]
尽管亥姆霍兹花了毕生的精力来力证数学的经验性，他的思想却没能在二十世纪数学哲学的三大学派中占到一席之地——这三大学派分别是逻辑主义、直觉主义和形式主义。在谈到他们之前，我们先来看看与亥姆霍兹同时代的伟大的唯物主义者恩格斯的观点。
恩格斯（F.Egels，1820—1895，德国）同样认为数学来源于现实世界，他在《反杜林论》中这样说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实……正如同在其他思维领域中一样，从现实世界抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须适应的外来规律而与现实世界对立……它在以后被应用于世界，虽然它是从这个世界得出来的，并且只表现世界的联系形式的一部分——正是仅仅因为这样，它才是可应用的。”[15]应该说他的分析是比较全面和客观的，他用简洁的语言阐明了数学的本质和特点。恩格斯承认纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义，但并不认为这就可以证明数学的先验性，这种立场是非常正确和难能可贵的，但是他趋向于认为任何数学概念都可以在现实中找到原型，“自然界对这一切想象的数量都提供了原型”，他自己作过一个具体的例子来说明无限的概念来自于现实。从更高的角度来看，恩格斯也许是对的，然而随着某些纯数学理论的日趋抽象化，具备火眼金睛，能够辨别出它准确现实来源的人越来越少，有时候甚至根本就没有，在这种情况下，强调数学概念的现实原型可能会丧失它本来的意义，从而对纯数学的研究起到阻碍作用，因为我们不能断定那些目前没有现实原型的数学研究就毫无意义，比如曾经被认为是无用的数论终于在密码学中派上了用场，这也是恩格斯的观点在数学哲学中影响不大的原因之一。当然，恩格斯是把数学当作辨证的辅助工具和表现形式来看的，他关心的还是哲学上的问题，无论如何，他的理论在当时的数学哲学中独树一帜，且一直到今天，仍然是最具说服力的观点之一。
二十世纪数学哲学三大学派之一的逻辑主义继承的是莱布尼茨的衣钵，代表人物是弗雷格（Frege，1848—1925，德国）和罗素，他们的主要观点是认为数学可以化归为逻辑，而逻辑命题可以先验地认识，并不需要对客观世界进行研究，这样他们又退回到了柏拉图那里。
直觉主义者则继承了康德的理论，代表人物布劳威尔（Luitzen E.J. Bronwer，1881—1967）强调数学概念是由直觉得到的，数学的基础在于一种先验的初始直觉，因此，数学思想反映的不是外部世界的真理性，而仅仅是一种构造性的智力活动。
形式主义的代表人物是希尔伯特，他认为所有的数学概念并没有什么实际的意义，可以用各种符号来表示它们，公理只是一个特定的符号序列，它们自身无所谓真假，只要证明了一个公理系统是无矛盾的，那它就表示了一种真理，从某种意义上而言，形式主义的数学只是一种符号游戏。康托的思想与此类似，他说：“数学在它自身的发展是完全自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛盾的并且和先前由确切定义引进的概念相协调…..数学的本质在于它的充分自由。”[16]
有人以为形式主义者和直觉主义者把数学家的工作看作发明，这和持柏拉图主义观点的人有所不同，其实这只是一种表面现象，虽然希尔伯特曾经说过：“最终的结果将会表明，数学是一门没有任何前提的科学。”[17]但他同样说过：“如果我没有搞错的话，的确存在全部数学真理的整个世界，我们只是凭自己的心灵才有机会感知这个世界的，就象存在物质实体的世界一样，两者都是神的创造，彼此一样不依赖于我们而存在。”[18]从中我们不无惊奇地发现这些表述与柏拉图何其相似。同样，布劳威尔虽然认为数学思维与经验世界无关，但却认为它受到直觉世界的限制，只不过这个世界与感觉的世界是对立的。从更一般的观点来看，以上三种学派都是柏拉图主义的变种，不管数学是本来就存在的实体还是构造出来的，总之他们都把数学看作某种与现实世界无关而纯粹与思维相关的东西。
直觉主义由于自身的狭隘性——它只承认构造性数学，并不为大多数人所接收，而逻辑主义和形式主义的观点，随着罗素悖论和哥德尔定理的出现，陆续宣告失败了。人们终于认识到，想一劳永逸地解决数学的绝对无矛盾性的问题是徒劳的，它跟制造永动机的念头一样，注定会遭到失败，数学的真理性问题不可能在其内部得到解决。
然而这些结果并没有让人们觉得有抛弃柏拉图主义的必要，反而在某种程度上加强了它。哥德尔（Gödel，1906—1978，奥地利，美国）本人就曾经说过：“柏拉图主义是唯一站得住脚的立场。”他认为哥德尔定理的证明只能说明逻辑主义和形式主义的失败，而数学的确定性和先验性仍然是无可置疑的。[19]布尔巴基也表达过类似的看法，他说：“数学的对象是天赐与我们的，我们不能随便给它增添什么性质，正象物理学家不能改变自然的规律一样……”。[20]这些观点在本质上仍然是柏拉图主义的，由于数学的真理性在内部无法得到保证，数学家们就又退回到柏拉图的神秘的理想世界去寻求支柱。
这种现象不得不引起我们的深思，到底是什么使得他们忘了眼前脚下的客观世界，却一而再，再而三地去指望那个事实上根本无法证明其存在的所谓的“先验的理想世界”呢？我认为原因有以下几点：一，在西方哲学史上，唯心主义一直占着主导地位，大多数数学家和哲学家都是唯心主义者，他们不可能用唯物主义的观点来看待事物，包括数学在内；二，很多数学家研究数学的目的是为了寻求绝对真理，欧几里得就曾这样回答关于数学用途的疑问：“给他拿点钱来，因为这个人居然想知道学习数学能给他带来什么好处！”对这些人而言，他们当然不愿意看到数学丧失其先验真理性和确实性，鉴于爱因斯坦曾经说过：“只要数学的定律涉及实在，它们就不是确定的；只要它们是确定的，它们就不涉及实在……”，所以他们不得不否认数学与客观世界之间的联系；三，不少人抱有一种美好的愿望，希望能够找到一种完美的办法，从而可以解决世界上的一切争端和疑问，毕达哥拉斯学派曾经有过一个观点：“如果说人必有一死的话，那是因为我们没有能力把开端和结束结合起来。”[21]他们相信一旦找到了这种方法，人生就可以得到永恒。由于数学的严密性和普遍适应性，它一直是被最为看好的，人们往往认为只要充分推广和应用它，所有的问题就可以得到解决，显然，如果数学的绝对真理性无法确保的话，他们的愿望就必定要落空，而承认柏拉图主义可谓是实现这个梦想的最捷径，这就无怪乎他们要抱着它不放了；四，哥德尔的看法有一定道理，即使数学是不完备的，我们也不能就此否认它的绝对真理性，因为这只不过是说明了其无法从内部得到证明而已；五，由于纯数学的发展日趋抽象，部分数学家对数学的认识是片面甚至曲解的，罗素曾经说过：“现代数学是这样一门学科，我们不知道它说的是什么，也不知道它所说是否正确。”这种说法把数学看作一种与现实无关而又非常玄妙的学问，既然没有人知道它到底是什么，那就只能指望上帝了。还有一些数学家则担心强调数学与客观世界的联系将限制数学的自由，甚至有人认为，真正的、有趣的数学是无用的，而有用的数学则是平凡和枯燥的。这其中体现了两种错误的观点，其一是他们认为只有可以实际应用到某些自然科学中的数学才是有用的；其二即使是纯数学的研究，也并非就是真正有趣的，正如冯·诺伊曼（John Von Neumann，1903—1957，美籍匈牙利人）所说：“一门数学学科远离它的经验来源…..它将变得越来越美学化，越来越艺术化……有一种重大的危险，学科只沿着远离根源的流一直持续展开下去，并且分割成多种没有意义的分支，将变成一种繁琐的资料堆积。”[22]完全脱离了客观世界的数学研究必将丧失其生命力而趋于灭亡，而不是如某些数学家所期望的那样能到达一个更高的层次。
五、晚近的一些观点
随着数学在实践中的应用日益广泛，在当今数学哲学中，有两种倾向逐渐兴起，值得引起我们的重视，一种是“新经验主义”思潮，另一种是实用主义的观点。
新经验主义倾向于把数学看作一门经验学科，冯·诺伊曼认为：“数学上某些最了不起的灵感，那些想象之中纯得不能再纯的数学部门中最好的灵感，全都来源于自然科学。”托姆（Tom）则说：“重要的数学结构基本上汲取自外在世界，它们不可理喻的多样性只能在现实中才能找到依据，谁也不能理性地否认这个看法。”这些观点强调了数学对象的客观性和数学起源的经验性，具有一定的合理性，但他们对于数学概念仍然未能提出科学的看法，在他们那里，数学与其他经验科学之间的界限并不分明，甚至有部分哲学家的观点过于偏颇，比如美国逻辑学家奎因（Quine，1908—）和古德曼（Goodman）就认为：“逻辑学、数学跟物理学、生物学这些经验科学的区别不是原则上的，而是程度上的”。由此出发，他们试图把数学概念还原为经验，还原为个体的性质，这种观点与穆勒相似，但由于数学不象其他经验学科一样直接对客观世界进行研究，大多数人对此并不认同。[23]
另一位经验论者休谟也不乏衣钵传人，英国当代哲学家艾耶尔（A·J·Ayer，1910—）就认为，数学定理是定义下的真理，它们之所以为真，完全是由于定义的结果，与客观实在性无关。表面上这种看法与庞加莱的约定论有类似之处，但艾耶尔并不承认数学的先验性，他说：“我们所采取的哲学观点，我以为完全可以叫做经验主义的一种形式。”按照这种理论，数学命题只是一种分析命题，不包含任何事实内容，因此，对数学必然真理性的确认就没有违背经验主义关于“任何包含事实内容的命题都不具有必然真理性”的基本立场。[24]
值得一提的还有一种“拟经验主义”的观点，数学哲学家拉卡托斯（I.Lakatos，1922—1974）认为数学是拟经验性的：“数学的逻辑理论……是一种经验主义的理论，只要没有表明它是假的，那么这种理论永远是猜测性的。”他认为拟经验的理论是不能证实的，其真理性至多只能被说明，这种思想其实是波普尔（K.Popper，1902—）的证伪主义理论在数学上的具体应用。[25]当代美国哲学家普特南（H·Putnam）的观点与他不尽相同，普特南认为，如果一个假设命题可以用来证明很多定理，而没有证伪任何定理，就可以认为这一假设已经得到了证实。他曾经说过：“数学知识与经验知识是类似的——这就是说，和物理学一样，数学真理的标准也在于我们的观念在实际中的成功性，而且，数学知识是可以修正而不是绝对的。”可以看到，普特南更关心的是数学在解决实际问题中的有效性，实际上这是一种实用主义的观点，从这种观点出发，他否定了数学的绝对先验性。[26]
实用主义与当代西方的反本体论有密切关系，所谓数学上的实用主义指的是这样一种观点：对数学系统而言，根本无所谓真假，唯一有意义的是它对于相应的目的来说，是否方便，是否富有成果。实用形式主义代表人物克理认为本体论毫无意义，逻辑学家W.V.奎因（1908—）虽然承认本体论问题有意义，但他同样认为理论的判定准则并不在于它是否与实在相符合，而只应当是实用的考虑，即是否有用和方便。[27]泽尔博格（D.Zeilberger）在一篇蕴味极深但十分有趣的文章《标明价格的定理》中认为：在未来，并非所有的数学家都会去关注绝对的必然性，因为到时将有那么多激动人心的新事物揭示。将来还会遇到这样的自然的恒等式，值不得为它们的完整证明花那么多钱。我们将很有把握以小得多的代价获得其“几乎必然性”的证明。为什么泽尔博格愿意放弃“绝对真理”而引进“概率性真理”？对此鲍威（J.Borwein）等人认为：最合理的回答是，他在追求更深层次的真理。他们认为面对一个概率值很高但并未严格证明的恒等式，可以将其作为公理引入。这一观点反映了一个虽小但正在扩大的数学家群体的看法：如果承认科学研究的最终目的在于为人类创造福祉，那么我们就不仅要看到一个猜想的重要性，而且也要看到求证它的相应的代价；[28]同样如果我们承认世界只是一个由概率性事件组成的整体，我们就必须学会用统计学的观点来看待它。无论从哪方面而言，由实用主义发展来的这些观点都值得我们深刻反思并认真对待，但是我们同样应该注意到实用主义可能带来的负面影响，比如它可能对某些纯数学研究产生的障碍，我们必须看到，由于应用数学和纯数学的发展不完全同步，很多目前看起来根本无用的数学研究也是必要的，庞加莱曾经很有预见地说：“自为的数学是值得耕耘的，我是说，不能应用于物理学上的那些理论，象其他理论一样值得耕耘。”已经有许多事实证明，许多具有重要应用价值的数学领域，如果一开始就坚持应用，可能根本就发展不起来，最著名的例子莫过于古希腊数学在罗马时代的衰落了。
六、结束语
由于数学自身的发展和广泛应用以及数学哲学中经验主义者的努力，对于数学的起源，人们基本上已经达成共识，即承认它是由现实经验激发产生的，尽管这个产生指的是构造还是回忆（即发明还是发现）仍然是一个有争议的话题。比较站得住脚的一个看法是认为这两者都有一定道理，但都失之于偏颇，因为数学实际上是客观性与主观性的结合物，纯逻辑或纯经验都无法单独作为数学的基础。如果我们过分强调经验的作用，则很可能陷入狭隘经验论的误区，从而限制了数学的自由；而如果我们认为数学只是一种纯概念性的研究，那么就将很难说明它的普遍适应性（以前很多数学哲学家就是由此倒向柏拉图主义的），我看到过一个新颖的比喻，认为自然科学象葡萄，只能沿着数学预先为它搭好的支架生长，这样就可以解释为什么不考虑藤条的生长而搭建的支架会适合藤条的生长，[29]但我觉得事实上并非如此，如果根本不考虑藤条的生长，搭好的支架也许反而会影响藤条的生长，甚至会阻碍支架本身的发展。其实这个问题与数学的发展是分不开的，由于西方一直强调《几何原本》的传统——纯理论的扩展和研究，重视逻辑演绎，忽略归纳和实践，从而也就忽视了数学所具有的客观性；而当前由于计算机的广泛应用，实验数学的悄然兴起，从个例出发的归纳法终于重新得到重用，尽管他们处理的例子往往是经过抽象的，可能一时仍然难以辩清其现实来源，但是数学研究终于和其他直接处理客观世界的自然学科拉近了距离，我们有理由相信，这些改变将逐渐影响人们对数学的看法，使得他们更容易把握数学的客观性。
对于数学的对象，仍然存在着不同的说法，目前最为流行的定义是认为数学是研究从客观世界抽象出来的关系结构模式的一门科学。[30]把数学当作研究模式或结构的学科这一看法由来已久，怀特海和布尔巴基都曾有过类似的表述，由于对结构和模式的解释不同，也引起过一些异议，比如有人认为只是由于现代数学中引进了结构，人们才把结构作为数学的对象，数学结构只是数学对象之一，所以不能说数学的研究对象是结构（他们认为数学只能研究数学结构，而不能研究其他类型的结构，比如：社会结构、物质结构、科学结构等等），而应该坚持恩格斯的“数学的对象是现实世界的空间形式和量的关系”的立场。[31]我认为这种分歧其实只是表述和理解上的差异，在本质上并无不同，因为结构也可以说就体现为现实世界中空间形式和量的关系，另外由于现代数学的迅猛发展，由它延伸出去的学科已经包括了上面所提到的其他那些结构，所以我倾向于认为结构的说法更加清晰明朗，也更符合当前数学发展的趋势。
外尔（H.Weyl，1881—1966）曾经这样说过：“关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决；我们不知道向那里去找它的最后解答，或者根本就不能期望会有一个最后的客观回答。”[32]我对如此悲观的看法并不苟同，尽管我觉得他说得很对。我以为：即使我们不能得到这个最后答案，但我们至少在步步逼近它，在我看来，没有比这更令人欢欣鼓舞的了，如果你明白绝对真理的不存在，就能够理解并且对认识世界（包括数学）满怀信心。找到最后的答案其实并不是一件好事，它意味着我们对数学的探索将告一终结，而且这在事实上也办不到，曾经有很多次我们都以为已经到了一种临界状态，只要消除某些特例就可以获得完满的回答，可是这个回答我们从来就没有得到过，我们发现看上去那么近的东西其实离我们仍然很遥远，之所以觉得它伸手可得，只不过是因为我们自己的目力太差而已。我个人认为，处于不确定但有方向可努力的状态是最好的，它表明我们将有所突破，将有希望站在一个更高的地位来看待问题，对于数学的发展我也持同样的看法，目前对它的定义是合理的，但肯定不是完整的，它必将在更高的层次上被扬弃，至于在何时，以何种方式，则将取决于数学本身的发展状况。
作为一个唯物主义者，我所能坚持的就是：数学来源于现实世界，也必将应用于这个世界，尽管这个起源和应用比起其他经验学科来有着很大的差异。我所说的来源，是受了叔本华的启发，他曾经讲过：“真理是完全赤裸的，表达真理的方式越简单，真理的影响便越深刻。”用一句俗话来形容，就是“水清石自现”，我觉得把问题简单化是到达本质的唯一途径；而我所指的应用，是改了徐光启的话：“金针度去从君用，岂止鸳鸯绣与人”。[33]
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[25] 夏基松，郑毓信 ：西方数学哲学，人民出版社，1986年版，123-124
[26] 夏基松，郑毓信 ：西方数学哲学，人民出版社，1986年版，316-317
[27] 夏基松，郑毓信 ：西方数学哲学，人民出版社，1986年版，257-258
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[29] 钱江：关于数学哲学的新思考，数学的实践与认识，2000，2
[30] 张水良，子叶：现代数学的几个哲学问题，哲学动态，1997.5
[31] 王鸿钧，孙宏安：数学思想方法引论，人民教育出版社，1992年版，409-412
[32] 夏基松，郑毓信 ：西方数学哲学，人民出版社，1986年版，120
[33] 徐光启：《徐光启集》，中华书局，1963年版， 78
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