《周髀算经》与古代域外天学

《周髀算经》一向被认为是中国古代本土的天文学和数学经典，十多年前，我曾对《周髀算经》下过一番研究功夫，给全书做了详细注释和白话译文，结果书中的许多内容令我大吃一惊——怎么看它们都像是从西方传来的。兹先述其中最引人注目的一项。

《周髀算经》中假托周公与商高的对话，因此曾被古人视为周代的著作，但现今学者们比较普遍的意见是《周髀算经》成书于公元前100年左右（西汉年间）。至于书中的内容究竟有多古老，则只能推测了。

古代中国天学家没有构造几何宇宙模型的传统，他们用代数方法也能相当精确地解决各种天文学问题，宇宙究竟是什么形状或结构，他们通常完全不去过问。但是《周髀算经》却是古代中国在这方面唯一的例外——书中构建了古代中国唯一的一个几何宇宙模型。这个盖天几何模型有明确的结构，也有具体的、绝大部分能够自洽的数理。不过，《周髀算经》中盖天宇宙模型以前长期被人误解为“球冠形”，而据我考证的结果，这个模型的正确形状如图所示。

盖天宇宙是一个有限宇宙，其要点和参数如下：

一、大地与天为相距80,000里的平行圆形平面。

二、天的中心为北极，在北极下方的大地中央有高大柱形物，即上尖下粗高60,000里的“璇玑”，其底面直径为23,000里，天在北极处也并非平面而是相应隆起。

三、该宇宙模型的构造者在圆形大地上为自己的居息之处确定了位置，并且这位置不在中央而是偏南。

四、大地中央的柱形延伸至天处为北极。

五、日月星辰在天上环绕北极作平面圆周运动。

六、太阳在这种圆周运动中有着多重同心轨道（“七衡六间”），并且以半年为周期作规律性的轨道迁移（一年往返一遍）。

七、太阳的上述运行模式，可以在相当程度上说明昼夜成因和太阳周年视运动中的一些天象（比如季节的变化）。

八、太阳光线向四周照射的极限是167,000里，与太阳运动最远处的轨道半径238,000里相加，即得盖天宇宙的最大尺度半径405,000里。

和希腊化时代托勒密精致的几何宇宙模型相比，《周髀算经》中的盖天宇宙模型当然是相当初级简陋的。这一点也不奇怪，但令我极为惊讶的是，盖天宇宙模型的上述八项特征，竟全都与古代印度的宇宙模型特征吻合！

关于古代印度宇宙模型的记载，主要保存在一些《往世书》（Puranas）中。《往世书》是印度教的圣典，同时又是古代史籍，带有百科全书性质。它们的确切成书年代难以判定，但其中关于宇宙模式的一套概念，学者们相信可以追溯到吠陀时代——约公元前1000年之前，因而是非常古老的。《往世书》中的宇宙模式可以概述如下：

大地象平底的圆盘，在大地中央耸立着巍峨的高山，名为迷卢（Meru，也即汉译佛经中的“须弥山”，或作Sumeru，译成“苏迷卢”）。迷卢山外围绕着环形陆地，此陆地又为环形大海所围绕，……如此递相环绕向外延展，共有七圈大陆和七圈海洋。

印度在迷卢山的南方。

与大地平行的天上有着一系列天轮，这些天轮的共同轴心就是迷卢山；迷卢山的顶端就是北极星（Dhruva）所在之处，诸天轮携带着各种天体绕之旋转；这些天体包括日、月、恒星、……以及五大行星——依次为水星、金星、火星、木星和土星。

利用迷卢山可以解释黑夜与白昼的交替。携带太阳的天轮上有180条轨道，太阳每天迁移一轨，半年后反向重复，以此来描述日出方位角的周年变化。……

唐代释道宣《释迦方志》卷上也记述了古代印度的宇宙模型，细节上恰可与上述记载相互补充：“……苏迷卢山，即经所谓须弥山也，在大海中，据金轮表，半出海上八万由旬，日月回薄于其腰也。外有金山七重围之，中各海水，具八功德。”

根据这些记载，古代印度宇宙模型，与《周髀算经》中的盖天宇宙模型岂非惊人地相似，在细节上几乎处处吻合？

一、两者的天、地都是圆形的平行平面；

二、“璇玑”和“迷卢山”同样扮演了大地中央的“天柱”角色；

三、周地和印度都被置于各自宇宙中大地的南部；

四、“璇玑”和“迷卢上”的正上方都是各种天体旋转的枢轴——北极；

五、日月星辰都在天上环绕北极作平面圆周运动。

六、如果说印度迷卢山外的“七山七海”在数字上使人联想到《周髀算经》的“七衡六间”的话，那么印度宇宙中太阳天轮的180条轨道无论从性质还是功能来说都与七衡六间完全一致（太阳在七衡之间的往返也是每天连续移动的）。

七、《周髀算经》中天与地的距离是八万里，而迷卢山也是高出海上“八万由旬”，其上即诸天轮所在，两者天地距离恰好同为八万单位。

八、《周髀算经》认为太阳光线向四周照射的极限是167,000里，而佛经《立世阿毘昙论》卷五“日月行品第十九”末尾云：“日光径度，七亿二万一千二百由旬。周围二十一亿六万三千六百由旬。”虽具体数值有所不同，但也设定太阳光照半径是有限的固定数值，也已经是惊人的吻合了。

在人类文明发展史上，文化的多元自发生成是完全可能的，因此许多不同文明中有相似之处，也可能是偶然巧合。但是《周髀算经》的盖天宇宙模型与古代印度宇宙模型之间的相似程度实在太高——从整个格局到许多细节都一一吻合，如果还要用“偶然巧合”去解释，无论如何是太勉强了。（载《新发现》杂志2007年第6期）

谁告诉了中国人寒暑五带知识？——古代中外天文学交流猜测之二

古代中国人最初有所谓“天圆地方”的观念，后来被天学家普遍接受的主流宇宙学说则是“浑天说”——类似希腊化时代托勒密的地心体系，但因为其中大地的半径大到宇宙半径的一半，始终无法发展出希腊天文学家的球面天文学，中国传统的天球和地球坐标系统也一直是不完备的。所以，当我在《周髀算经》中发现相当于地球上寒暑五带的知识时，再次感到非常惊异——因为这类知识是以往两千年间，中国传统天文学说中所没有、而且不相信的。

这些知识在《周髀算经》中主要见于卷下第9节中的三条记载：

1、极下不生万物，何以知之? ……北极左右，夏有不释之冰。

2、中衡去周七万五千五百里。中衡左右，冬有不死之草，夏长之类。此阳彰阴微，故万物不死，五谷一岁再熟。

3、凡北极之左右，物有朝生暮获，冬生之类。

这里需要先作一些说明：

根据上一期本专栏文章中的说明，我们知道《周髀算经》中的宇宙模型是：天、地为平行的圆形平面，在大地中央矗立着高达6万里的“璇玑”，即大地的北极，向上正对着北天极。围绕着北极的依次是被称为“内衡”、“中衡”和“外衡”的同心环形带——很像从地球北极上方俯视下来时，看到的一圈圈等纬度线。

第1条记载强调了北极下方的大地区域是苦寒之地，“不生万物”、“夏有不释之冰”。

第2条记载中，所谓“中衡左右”，这一区域正好对应于地球寒暑五带中的热带（南纬23°30′至北纬23°30′之间）——尽管《周髀算经》中并无地球的观念，但对于热带地区来说，“冬有不死之草”、“五谷一岁再熟”等景象，确实是真实的。

第3条记载中，说北极左右“物有朝生暮获”。这就必须联系到极昼、极夜现象了。据前所述，圆形大地中央的“璇玑”之底面直径为23,000里，则半径为11,500里，而《周髀算经》所设定的太阳光芒向其四周照射的极限距离是167,000里；于是，由本文图中清楚可见，每年从春分至秋分期间，在“璇玑”范围内将出现极昼——昼夜始终在阳光之下；而从秋分到春分期间则出现极夜——阳光在此期间的任何时刻都照射不到“璇玑”范围之内。这也就是汉代赵爽在为《周髀算经》所作注释中所说的“北极之下，从春分至秋分为昼，从秋分至春分为夜”，因为这里是以半年为昼、半年为夜。

《周髀算经》中上述关于寒暑五带的知识，用今天已经知道的知识来判断，虽然它们并不是在古代希腊的球面坐标系中被描述的，但其准确性却没有疑问。然而这些知识，却并不是以往两千年间中国传统天文学中的组成部分！对于这一现象，可以从几方面来讨论。

首先，为《周髀算经》作注的赵爽，竟然表示不相信书中的这些知识。例如对于北极附近“夏有不释之冰”，赵爽注称：“冰冻不解，是以推之，夏至之日外衡之下为冬矣，万物当死——此日远近为冬夏,非阴阳之气，爽或疑焉。”又如对于“冬有不死之草”、“阳彰阴微”、“五谷一岁再熟”的热带，赵爽表示“此欲以内衡之外、外衡之内，常为夏也。然其修广，爽未之前闻”——他从未听说过。

从赵爽为《周髀算经》全书所作的注释来判断，他毫无疑问是那个时代够格的天文学家之一，为什么竟从未听说过这些寒暑五带知识? 比较合理的解释似乎只能是：这些知识不是中国传统天文学体系中的组成部分，所以对于当时大部分中国天文学家来说，这些知识是新奇的、与旧有知识背景格格不入的，因而也是难以置信的。

其次，在古代中国居传统地位的天文学说——“浑天说”中，由于没有正确的地球概念，是不可能提出寒暑五带之类的问题来的。因此直到明朝末年，来华的耶稣会传教士在他们的中文著作中向中国读者介绍寒暑五带知识时，仍被中国人目为未之前闻的新奇学说。正是这些耶稣会传教士的中文著作，才使中国学者接受了地球寒暑五带之说。而当清朝初年“西学中源”说甚嚣尘上时，梅文鼎等人为寒暑五带之说寻找中国源头，找到的正是《周髀算经》。他们认为是《周髀算经》等中国学说在上古时期传入西方，才教会了希腊人、罗马人和阿拉伯人掌握天文学知识的——现在我们当然知道这种推断是荒谬的。

现在我们不得不面临一系列尖锐问题：

既然在浑天学说中因没有正确的地球概念而不可能提出寒暑五带的问题，那么《周髀算经》中同样没有地球概念，何以却能记载这些知识?

如果说《周髀算经》的作者身处北温带之中，只是根据越向北越冷、越往南越热，就能推衍出北极“夏有不释之冰”、热带“五谷一岁再熟”之类的现象，那浑天家何以偏就不能?

再说，赵爽为《周髀算经》作注，他总该是接受盖天学说之人，何以连他都对这些知识不能相信?这样看来，有必要考虑这些知识来自异域的可能性。

大地为球形、地理经纬度、寒暑五带等知识，早在古希腊天文学家那里就已经系统完备，一直沿用至今。五带之说在亚里士多德著作中已经发端，至“地理学之父”埃拉托色尼（Eratosthenes, 275-195 B.C.）《地理学概论》中已经完备：南纬24°至北纬24°之间为热带，两极处各24°的区域为南、北寒带，南纬24°至66°和北纬24°至66°之间则为南、北温带。

从年代上来说，古希腊天文学家确立这些知识早在《周髀算经》成书之前。《周髀算经》的作者有没有可能直接或间接地从古希腊人那里获得了这些知识呢? 这确实是耐人寻味的问题。（载《新发现》杂志2007年第7期）

江晓原：《周髀算经》与古代域外天学

根据现代学者认为比较可信的结论，《周髀算经》约成书于公元前100年。自古至今，它一直被毫无疑问地视为最纯粹的中国国粹之一。讨论《周髀算经》中有无域外天学成分，似乎是一个异想天开的问题。然而，如果我们先将眼界从中国古代天文学扩展到其它古代文明的天文学，再来仔细研读《周髀算经》原文，就会惊奇地发现，上述问题不仅不是那么异想天开，而且还有很深刻的科学史和科学哲学意义。

1、盖天宇宙与古印度宇宙之惊人相似

根据《周髀算经》原文中的明确交待，以及笔者在文献[1]和[2]中对几个关键问题的详细论证，我们已经知道《周髀算经》中的盖天宇宙有如下特征∶

一、大地与天为相距80,000里的平行圆形平面。

二、大地中央有高大柱形物（高60,000里的“璇玑”，其底面直径为23,000里）。

三、该宇宙模型的构造者在圆形大地上为自己的居息之处确定了位置，并且这位置不在中央而是偏南。

四、大地中央的柱形延伸至天处为北极。

五、日月星辰在天上环绕北极作平面圆周运动。

六、太阳在这种圆周运动中有着多重同心轨道，并且以半年为周期作规律性的轨道迁移(一年往返一遍)。

七、太阳的上述运行模式可以在相当程度上说明昼夜成因和太阳周年视运动中的一些天象。

令人极为惊讶的是，笔者发现上述七项特征竟与古代印度的宇宙模型全都吻合！这样的现象恐非偶然，值得加以注意和研究。下面先报道笔者初步比较的结果，更深入的研究或当俟诸异日。

关于古代印度宇宙模型的记载，主要保存在一些《往世书》（Puranas）中。《往世书》是印度教的圣典，同时又是古代史籍，带有百科全书性质。它们的确切成书年代难以判定，但其中关于宇宙模式的一套概念，学者们相信可以追溯到吠陀时代----约公元前1000年之前，因而是非常古老的。《往世书》中的宇宙模式可以概述如下∶[3]

大地象平底的圆盘，在大地中央耸立着巍峨的高山，名为迷卢(Meru，也即汉译佛经中的“须弥山”，或作Sumeru，译成“苏迷卢”)。迷卢山外围绕着环形陆地，此陆地又为环形大海所围绕，……如此递相环绕向外延展，共有七圈大陆和七圈海洋。

印度在迷卢山的南方。

与大地平行的天上有着一系列天轮，这些天轮的共同轴心就是迷卢山；迷卢山的顶端就是北极星(Dhruva)所在之处，诸天轮携带着各种天体绕之旋转；这些天体包括日、月、恒星、……以及五大行星----依次为水星、金星、火星、木星和土星。

又唐代释道宣《释迦方志》卷上也记述了古代印度的宇宙模型，细节上恰可与上述记载相互补充∶

……苏迷卢山，即经所谓须弥山也，在大海中，据金轮表，半出海上八万由旬，日月回薄于其腰也。外有金山七重围之，中各海水，具八功德。

根据这些记载，古代印度宇宙模型与《周髀算经》盖天宇宙模型却是有惊人的相似之处，在细节上几乎处处吻合∶

一、两者的天、地都是圆形的平行平面；

二、“璇玑”和“迷卢山”同样扮演了大地中央的“天柱”角色；

三、周地和印度都被置于各自宇宙中大地的南半部分；

四、“璇玑”和“迷卢上”的正上方都是各种天体旋转的枢轴----北极；

五、日月星辰在天上环绕北极作平面圆周运动。

六、如果说印度迷卢山外的“七山七海”在数字上使人联想到《周髀算经》的“七衡六间”的话，那么印度宇宙中太阳天轮的180条轨道无论从性质还是功能来说都与七衡六间完全一致(太阳在七衡之间的往返也是每天连续移动的)。

七、特别值得指出，《周髀算经》中天与地的距离是八万里，而迷卢山也是高出海上“八万由旬”，其上即诸天轮所在，是其天地距离恰好同为八万单位，难道纯属偶然?

在人类文明发展史上，文化的多元自发生成是完全可能的，因此许多不同文明中相似之处，也可能是偶然巧合。但是《周髀算经》的盖天宇宙模型与古代印度宇宙模型之间的相似程度实在太高----从整个格局到许多细节都一一吻合，如果仍用“偶然巧合”去解释，无论如何总显得过于勉强。

当然，如果我们就此立刻进入关于“谁源于谁”的考据之中，那又将远远超出本文的范围。

2、寒暑五带的知识来自何处?

《周髀算经》中有相当于现代人熟知的关于地球上寒暑五带的知识。这是一个非常令人惊异的现象----因为这类知识是以往两千年间，中国传统天文学说中所没有、而且不相信的。

这些知识在《周髀算经》中主要见于卷下第9节∶[4]

极下不生万物，何以知之?……北极左右，夏有不释之冰。

中衡去周七万五千五百里。中衡左右，冬有不死之草，夏长之类。此阳彰阴微，故万物不死，五谷一岁再熟。

凡北极之左右，物有朝生暮获，冬生之类。

这里需要先作一些说明：

上引第二则中，所谓“中衡左右”即赵爽注文中所认为的“内衡之外，外衡之内”；再由本文图1[5]就明确可知，这一区域正好对应于地球寒暑五带中的热带(南纬23°30′至北纬23°30′之间)----尽管《周髀算经》中并无地球的观念。

上引第三则中，说北极左右“物有朝生暮获”，这就必须联系到《周髀算经》盖天宇宙模型对于极昼、极夜现象的演绎和描述能力。据前所述，圆形大地中央的“璇玑”之底面直径为23,000里，则半径为11,500里，而《周髀算经》所设定的太阳光芒向其四周照射的极限距离是167,000里；[6]于是，由本文图1清楚可见，每年从春分至秋分期间，在“璇玑”范围内将出现极昼----昼夜始终在阳光之下；而从秋分到春分期间则出现极夜----阳光在此期间的任何时刻都照射不到“璇玑”范围之内。这也就是赵爽注文中所说的“北极之下，从春分至秋分为昼，从秋分至春分为夜”，因为是以半年为昼、半年为夜。

《周髀算经》中上述关于寒暑五带的知识，其准确性是没有疑问的。然而这些知识却并不是以往两千年间中国传统天文学中的组成部分。对于这一现象，可以从几方面来加以讨论。

首先，为《周髀算经》作注的赵爽，竟然就表示不相信书中的这些知识。例如对于北极附近“夏有不释之冰”，赵爽注称∶“冰冻不解，是以推之，夏至之日外衡之下为冬矣，万物当死----此日远近为冬夏,非阴阳之气，爽或疑焉。”又如对于“冬有不死之草”、“阳彰阴微”、“五谷一岁再熟”的热带，赵爽表示“此欲以内衡之外、外衡之内，常为夏也。然其修广，爽未之前闻”----他从未听说过。我们从赵爽为《周髀算经》全书所作的注释来判断，他毫无疑问是那个时代够格的天文学家之一，为什么竟从未听说过这些寒暑五带知识?比较合理的解释似乎只能是∶这些知识不是中国传统天文学体系中的组成部分，所以对于当时大部分中国天文学家来说，这些知识是新奇的、与旧有知识背景格格不入的，因而也是难以置信的。

其次，在古代中国居传统地位的天文学说----浑天说中，由于没有正确的地球概念，是不可能提出寒暑五带之类的问题来的。[7]因此直到明朝末年，来华的耶稣会传教士在他们的中文著作中向中国读者介绍寒暑五带知识时，仍被中国人目为未之前闻的新奇学说。[8]正式这些耶稣会传教士的中文著作才使中国学者接受了地球寒暑五带之说。而当清朝初年“西学中源”说甚嚣尘上时，梅文鼎等人为寒暑五带之说寻找中国源头，找到的正是《周髀算经》----他们认为是《周髀算经》等中国学说在上古时期传入西方，才教会了希腊人、罗马人和阿拉伯人掌握天文学知识的。[9]

现在我们面临一系列尖锐的问题∶

既然在浑天学说中因没有地球概念而不可能提出寒暑五带的问题，那么《周髀算经》中同样没有地球概念，何以却能记载这些知识?

再说赵爽为《周髀算经》作注，他总该是接受盖天学说之人，何以连他都对这些知识不能相信?这样看来，有必要考虑这些知识来自异域的可能性。

大地为球形、地理经纬度、寒暑五带等知识，早在古希腊天文学家那里就已经系统完备，一直沿用至今。五带之说在亚里士多德著作中已经发端，至“地理学之父”埃拉托色尼（Eratosthenes,275-195B.C.）的《地理学概论》中，已有完整的五带∶南纬24°至北纬24°之间为热带，两极处各24°的区域为南、北寒带，南纬24°至66°和北纬24°至66°之间则为南、北温带。从年代上来说，古希腊天文学家确立这些知识早在《周髀算经》成书之前。《周髀算经》的作者有没有可能直接或间接地从古希腊人那里获得了这些知识呢?这确实是耐人寻味的问题。

3、坐标系问题

以浑天学说为基础的传统中国天文学体系，完全属于赤道坐标系统。在此系统中，首先要确定观测地点所见的“北极出地”度数----即现代所说的当地地理纬度，由此建立起赤道坐标系。天球上的坐标系由二十八宿构成，其中入宿度相当于现代的赤经差，去极度相当于现代赤纬的余角，两者在性质和功能上都与现代的赤经、赤纬等价。与此赤道坐标系统相适应，古代中国的测角仪器----以浑仪为代表----也全是赤道式的。中国传统天文学的赤道特征，还引起近代西方学者的特别注意，因为从古代巴比伦和希腊以下，西方天文学在两千余年间一直是黄道系统，直到十六世纪晚期，才在欧洲出现重要的赤道式天文仪器（这还被认为是丹麦天文学家Tycho的一大发明）。因而在现代中外学者的研究中，传统中国天文学的赤道特征已是公认之事。

然而，在《周髀算经》全书中，却完全看不到赤道系统的特征。

首先，在《周髀算经》中，二十八宿被明确认为是沿着黄道排列的。这在《周髀算经》原文以及赵爽注文中都说得非常明白。《周髀算经》卷上第4节云∶

月之道常缘宿，日道亦与宿正。

此处赵爽注云∶

内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道，二十八宿列焉。月之行也，一出一入，或表混里，五月二十三分月之二十而一道一交，谓之合朔交会及月蚀相去之数，故曰“缘宿”也。日行黄道，以宿为正，故曰“宿正”。

根据上下文来分析，可知上述引文中的“黄道”，确实与现代天文学中的黄道完全相当----黄道本来就是根据太阳周年视运动的轨道定义的。而且，赵爽在《周髀算经》第6节“七衡图”下的注文中，又一次明确地说　　　黄图画者，黄道也，二十八宿列焉，日月星辰躔焉。

日月所躔，当然是黄道(严格地说，月球的轨道白道与黄道之间有5°左右的小倾角，但古人论述时常省略此点)。

其次，在《周髀算经》中，测定二十八宿距星坐标的方案又是在地平坐标系中实施的。这个方案详载于《周髀算经》卷下第10节中。由于地平坐标系的基准面是观测者当地的地平面，因此坐标系中的坐标值将会随着地理纬度的变化而变化，地平坐标系的这一性质使得它不能应用于记录天体位置的星表。但是《周髀算经》中试图测定的二十八宿各宿距星之间的距度，正是一份记录天体位置的星表，故从现代天文学常识来看，《周髀算经》中上述测定方案是失败的。另外值得注意的一点是，《周髀算经》中提供的唯一一个二十八宿距度数值----牵牛距星的距度为8°，据研究却是袭自赤道坐标系的数值(按照《周髀算经》的地平方案此值应为6°)。[10]

《周髀算经》在天球坐标问题上确实有很大的破绽∶它既明确认为二十八宿是沿黄道排列的，却又试图在地平坐标系中测量其距度，而作为例子给出的唯一数值竟又是来自赤道系统。这一现象值得深思，在它背后可能隐藏着某些重要线索。

4、结语

反复研读《周髀算经》全书，给人以这样一种印象∶即它的作者除了具有中国传统天文学知识之外，他还从别处获得了一些新的方法----最重要的就是笔者在文献[1]中着重讨论的公理化方法(《周髀算经》是中国古代唯一一次对公理化方法的认真实践)；以及一些新的知识----比如印度式的宇宙结构、希腊式的寒暑五带知识之类。这些尚不知得自何处的新方法和新知识与中国传统天文学说不属于同一体系，然而作者显然又极为珍视它们，因此他竭力揉合二者，试图创造出一种中西合璧的新的天文学说。作者的这种努力在相当程度上可以说是成功的。《周髀算经》确实自成体系、自具特色，尽管也不可避免地有一些破绽。

那么，《周髀算经》的作者究竟是谁?他在构思、撰写《周髀算经》时有过何种特殊的际遇?《周髀算经》中这些异域天文学成分究竟来自何处?……所有这些问题现在都还没有答案、但是笔者强烈认为，《周髀算经》背后极可能隐藏着一个古代中西方文化交流的大谜。（《自然科学史研究》 1997年16卷3期）

《周髀算经》盖天宇宙结构考

摘要：长期以来，《周髀算经》盖天宇宙模型中的天地形状一直被认为是双重球冠，并将这一点视为《周髀算经》“自相矛盾”之处。本文通过对《周髀算经》全书的系统分析，从演绎体系、数理结构、语词辨析等多方面论证了“双重球冠说”之误。再进而给出了《周髀算经》盖天宇宙模型的正确结构和形状——新给出的结构和形状在全书中非常自洽。

一、问题的提出：《周髀算经》是否“自相矛盾”？

在《周髀算经》所述盖天宇宙模型中，天与地的形状如何，现代学者们有着普遍一致的看法，这里举出叙述最为简洁易懂的一种作为代表：

《周髀》又认为，“天象盖笠，地法覆盘”，天和地是两个相互平行的穹形曲面。天北极比冬至日道所在的天高60,000里，冬至日道又比天北极下的地面高20,000里。同样，极下地面也比冬至日道下的地面高60,000里。[1]

然而，同样普遍一致地,这种看法的论述者总是在同时指出：上述天地形状与《周髀算经》中有关计算所暗含的假设相互矛盾。仍举出一例为代表：

天高于地八万里,在《周髀》卷上之二,陈子已经说过，他假定地面是平的；这和极下地面高于四旁地面六万里,显然是矛盾的。……它不以地是平的, 而说地如覆盘。[2]

其实这种认为《周髀算经》在天地形状问题上自相矛盾的说法，早在唐代李淳风为《周髀算经》所作注文中就已发其端。李淳风认为《周髀算经》在这一问题上“语术相违,是为大失”。[3]

但是，所有持上述说法的论著, 事实上都在无意之中犯了一系列未曾觉察的错误。从问题的表层来看, 这似乎只是误解了《周髀算经》的原文语句,以及过于轻信前贤成说而递相因袭，未加深究而已。然而再往深一层看,何以会误解原文语句? 原因在于对《周髀算经》体系中两个要点的意义缺乏认识——这两个要点是: “日影千里差一寸”和“北极璇玑”。前一个要点笔者已有另文专门讨论，[4] 下文仅略述其大要，重点则在讨论第二个要点，再分析对原文语句的误解问题。

二、“日影千里差一寸”及其意义

《周髀算经》中的盖天学说是一个公理化体系，其中的宇宙模型有明确的几何结构，由这一结构进行推理演绎时又有具体的、绝大部分能够自洽的数理。“日影千里差一寸”正是在一个不证自明的前提、亦即公理——“天地为平行平面”——之下推论出来的定理。这个定理且能推广其应用，即所谓“勾之损益寸千里”。

然而，认定《周髀算经》是“自相矛盾”的论者，总是勇于指出“天地为平行平面”这一前提之谬误，却不去注意这条公理在《周髀算经》体系中的地位。“天地为平行平面”固然不符合今天的常识，却未必不符合古人的常识。更重要的是，在“天地为平行平面”与“日影千里差一寸”这对公理-定理之间，有严密的数学推理所支持，并无任何矛盾 (俱详见[4])。

三、“北极璇玑”究竟是何物?

解决《周髀算经》中盖天宇宙模型天地形状问题的另一关键就是所谓“北极璇玑”。此“北极璇玑”究竟是何物，现有的各种论著中对此莫衷一是。钱宝琮赞同顾观光之说，认为“北极璇玑也不是一颗实际的星”，而是“假想的星”。[5] 陈遵妫则明确表示：

“北极璇玑”是指当时观测的北极星；……《周髀》所谓“北极璇玑”，即指北极中的大星，从历史上的考据和天文学方面的推算，大星应该是帝星即小熊座β星。[6]

但是，《周髀算经》谈到“北极璇玑”或“璇玑”至少有三处，而上述论述都只是针对其中一处所作出的。对于其余几处，论著者们通常都完全避而不谈----实在是不得不如此，因为在“盖天宇宙模型中天地形状为双重球冠形”的先入之见的框架中，对于《周髀算经》中其余几处涉及“北极璇玑”的论述，根本不可能作出解释。如果又将思路局限在“北极璇玑”是不是实际的星这样的方向上，那就更加无从措手了。

《周髀算经》中直接明确谈到“璇玑”的共三处，依次见于原书卷下之第8、9、12节，[7] 先依照顺序录出如下：

欲知北极枢、璇玑四极，常以夏至夜半时北极南游所极，冬至夜半时北游所极，冬至日加酉之时西游所极，日加卯之时东游所极，此北极璇玑四游。正北极璇玑之中，正北天之中，正极之所游……(以下为具体观测方案)。

璇玑径二万三千里，周六万九千里（《周髀算经》全书皆取圆周率=3）。此阳绝阴彰，故不生万物。

牵牛去北极……。术曰∶置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里，……。东井去北极……。术曰∶置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，……。

从上列第一条论述可以清楚地看到，“北极”、“北极枢”和“璇玑”是三个有明确区分的概念：

那个“四游”而划出圆圈的天体，陈遵妫认为就是当时的北极星，这是对的，但必须注意，《周髀算经》原文中分明将这一天体称为“北极”，而不是如上引陈遵妫论述中所说的“北极璇玑”。

“璇玑”则是天地之间的一个柱状空间，这个圆柱的截面就是“北极”——当时的北极星（究竟是今天的哪一颗星还有争议）——作拱极运动在天上所划出的圆。

至于“北极枢”，则显然就是北极星所划圆的圆心——它才能真正对应于天文学意义上的北极。

在上面所作分析的基础上，我们就完全不必再回避上面所引《周髀算经》第9、第12节中的论述了。由这两处论述可知，“璇玑”并非假想的空间，而是被认为实际存在于大地之上——处在天上北极的正下方，它的截面直径为23,000里，这个数值对应于《周髀算经》第8节中所述在周地地面测得的北极东、西游所极相差2尺3寸，仍是由“勾之损益寸千里”推导而得。北极之下大地上的这个直径为23,000里的特殊区域在《周髀算经》中又被称为“极下”，这是“璇玑”的同义语。

如果仅仅到此为止，我们对“璇玑”的了解仍是不完备的。所幸《周髀算经》还有几处对这一问题的论述，可以帮助我们解破疑团。这些论述见于原书卷下第7、第9节：

极下者，其地高人所居六万里，滂沲四颓而下。

极下不生万物，何以知之? ……

于是又可知：“璇玑”又指一个实体，它高达60,000里，上端是尖的，以弧线向下逐渐增粗，至地面时，其底的直径为23,000里（参见本文图）；而在此69,000里圆周范围内，如前所述是“阳绝阴彰，故不生万物”。

这里必须特别讨论一下“滂沲四颓而下”这句话。所有主张《周髀算经》宇宙模型中天地形状为双重球冠形的论著，几乎都援引“滂沲四颓而下”一语作为证据，却从未注意到“极下者，其地高人所居六万里”这句话早已完全排除了天地为双重球冠形的任何可能性。其实只要稍作分析就可发现，按照天地形状为双重球冠形的理解，大地的中央（北极之下）比这一球冠的边缘——亦即整个大地的边界——高六万里；但这样一来，“极下者，其地高人所居六万里”这句话就绝对无法成立了，因为在球冠形模式中，大地上比极下低六万里的面积实际上为零——只有球冠边缘这一线圆周是如此，而“人所居”的任何有效面积所在都不可能低于极下六万里。比如，周地作为《周髀算经》作者心目中最典型的“人所居”之处，按照双重球冠模式就绝对不可能低于极下六万里。

此外，如果接受双重球冠模式，则极下之地就会与整个大地合为一体，没有任何实际的边界可以将两者区分，这也是明显违背《周髀算经》原意的----如前所述，极下之地本是一个直径23,000里、其中“阳绝阴彰，不生万物”、阴寒死寂的特殊圆形区域。

四、《周髀算经》盖天宇宙模型的正确形状

根据前面几节的讨论，我们已经知道《周髀算经》所述盖天宇宙模型的基本结构是：

天与地为平行平面，在北极下方的大地中央矗立着高60,000里、底面直径为23,000里的上尖下粗的“璇玑”。

剩下需要补充的细节还有三点：

一是天在北极处的形状。大地在北极下方有矗立的“璇玑”，天在北极处也并非平面，《周髀算经》在卷下第7节对此叙述得非常明确∶

极下者，其地高人所居六万里，滂沲四颓而下。天之中央，亦高四旁六万里。

也就是说，天在北极处也有柱形向上耸立----其形状与地上的“璇玑”一样。这一结构已明确表示于本文图1。该图为《周髀算经》盖天宇宙模型的侧视剖面图，由于以北极为中心，图形是轴对称的，故只需绘出其一半；图中左端即“璇玑”的侧视半剖面。

二是天、地两平面之间的距离。在天地为平行平面的基本假设之下，这一距离很容易利用表影测量和勾股定理推算而得（推算之法及其有关讨论详见[4]）。即《周髀算经》卷上第3节所说的“从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日则八万里”。日在天上，天地又为平行平面，故日与“日下”之地的距离也就是天与地的距离。而如果将盖天宇宙模型的天地理解成双重球冠形曲面，这些推算都无法成立。李淳风以下，就是因此而误斥《周髀算经》为“自相矛盾”。其实，《周髀算经》关于天地为平行平面以及天地距离还有一处明确论述，见卷下第7节：

天离地八万里，冬至只日虽在外衡，常出极下地上二万里。

“极下地”即“璇玑”的顶部，它高出地面六万里，故上距天为二万里。

《周髀算经》宇宙结构示意图（因为是轴对称的，只需画出半个）

三是盖天宇宙的总尺度。盖天宇宙是一个有限宇宙，天与地为两个平行的平面大圆形，此两大圆平面的直径皆为810,000里——此值是《周髀算经》依据另一条公理“日照四旁各十六万七千里”推论而得出 (参见[4])，有关论述见于卷上第4、第6节∶

冬至昼，夏至夜，差数所及，日光所逮观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。

日冬至所照过北衡十六万七千里，为径八十一万里，周二百四十三万里。

北衡亦即外衡，这是盖天宇宙模型中太阳运行到距其轨道中心——北极——最远之处，此处的日轨半径为238,000里，太阳在此处又可将其光芒向四周射出167,000里，两值相加得宇宙半径为405,000里，故宇宙直径为810,000里。

上图中各参数之意义及其数值，依据《周髀算经》原文所载，开列如下∶

J 北极(天中)

Z 周地(洛邑)所在

X 夏至日所在(日中之时)

F 春、秋分日所在(日中之时)

D 冬至日所在(日中之时)

r 极下璇玑半径 = 11,500里

Rx 夏至日道半径 = 119,000里

Rf 春、秋分日道半径 = 178,500里

Rd 冬至日道半径 = 238,000里

L 周地距极远近 = 103,000里

H 天地距离 = 80,000里

h 极下璇玑之高 = 60,000里

综上所述，《周髀算经》中盖天宇宙几何模型的正确形状结构如图1所示。这一模型既然处处与《周髀算经》原文文意吻合，在《周髀算经》的数理结构中也完全自洽可通，为何前贤却一直将天地形状误认为双重球冠形曲面呢? 这就必须仔细辨析“天象盖笠，地法覆盘”八个字了。

五、对“天象盖笠，地法覆盘”的明显误解

《周髀算经》卷下第7节有“天象盖笠，地法覆盘”一语，这八个字是双重球冠说最主要的依据，不可不详加辨析。

这八个字本来只是一种文学性的比拟和描述，正如赵爽在此八字的注文中所阐述的：

见乃谓之象，形乃谓之法。在上故准盖，在下故拟盘。象法义同，盖盘形等。互文异器，以别尊卑；仰象俯法，名号殊矣。

这里赵爽强调，盖、盘只是比拟。这样一句文学性的比喻之辞，至多也只能是表示宇宙的大致形状，其重要性与可信程度根本无法和《周髀算经》的整个体系以及其中的数理结构——我们的讨论已经表明，“天地为平行平面”是上述体系结构中必不可少的前提——相提并论。

再退一步说，即使要依据这八个字去判断《周髀算经》中盖天宇宙模型的形状，也无论如何推论不出“双重球冠”的形状——恰恰相反，仍然只能得出“天地为平行平面”的结论。试逐字分析如次：

盖，车盖、伞盖之属也。其实物形象，今天仍可从传世的古代绘画、画像砖等处看到，它们几乎无一例外都是圆形平面的，四周有一圈下垂之物，中央有一突起（连接曲柄之处），正与本文图所示天地形状极为吻合。而球冠形的盖，至少笔者从未见到过。

笠，斗笠之属，今日仍可在许多地方。通常也呈圆形平面，中心有圆锥形凸起，亦与本文图所示天地形状吻合。而球冠形的斗笠，不知何处有之?

覆盘，倒扣着的盘子。盘子是古今常用的器皿，自然也只能是平底的，试问谁见过球冠形的盘子——那样的话它还能放得稳吗?

综上所述，用“天象盖笠，地法覆盘”八字去论证双重球冠之说，实在不知道是何所据而云然。而前贤递相祖述，俱不深察，甚可怪也。究其原因，或许是因为首创此说者权威之大，后人崇敬之余，难以想象智者之千虑一失。

《周髀算经》：中国古代唯一的公理化尝试

一、引言

根据现代学者认为比较可信的结论，《周髀算经》约成书于公元前100年。自古至今，它一直毫无疑问地被视为最纯粹的中国国粹。而今视《周髀算经》为西方式的公理化体系，似乎有一点异想天开。然而，如果我们能够先捐弃成见，并将眼界从中国扩展到其它古代文明，再来仔细研读《周髀算经》原文，就会惊奇地发现，上述问题不仅不是那么异想天开，而且还有很深刻的科学史和科学哲学意义。

西方科学史上的公理化方法，用之于天文学上时，主要表现为构建宇宙的几何模型。从Eudoxus, Callippus, Aristotle, 到Hipparchus, 构建了一系列这样的模型，至Ptolemy而集前人之大成——Almagest（《至大论》）中的几何模型成为公理化方法在天文学方面的典范。直至近代，Copernicus, Tycho, Kepler等人的工作也仍是几何模型。

古代中国的传统天文学几乎不使用任何几何方法。“浑天说”虽有一个大致的“浑天”图象，不失为一种初步的宇宙学说，但其中既无明确的结构（甚至连其中的大地是何形状这样的基本问题都还令后世争论不休），更无具体的数理，自然也不是宇宙的几何模型。事实上古代中国天文学家心目中通常根本没有几何模型这种概念，他们用代数方法也能相当精确地解决各种天文学问题，宇宙究竟是什么形状或结构，他们完全可以不去过问。

然而，《周髀算经》是古代中国在这方面唯一的例外——《周髀算经》构建了古代中国唯一的一个几何宇宙模型。这个盖天宇宙的几何模型有明确的结构，有具体的、绝大部分能够自洽的数理。《周髀算经》的作者使用了公理化方法，他引入了一些公理，并能在此基础上从他的几何模型出发进行有效的演绎推理，去描述各种天象。尽管这些描述与实际天象吻合得并不十分好，然而确实是应用公理化方法的一次认真尝试。对于古代中国科学史上这样一个突出的特例，有必要专门探讨一番。

二、“日影千里差一寸”及其意义

在《周髀算经》中，陈子向荣方陈述盖天学说，劈头第一段就是讨论“日影千里差一寸”这一公式，见卷上第3节：[1]

夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿无影。此一者天道之数。周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也；正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。

这里一上来就指出了日影千里差一寸。参看图1：日影，指八尺之表（即“周髀”）正午时刻在阳光下投于地面的影长，即图1中的 l,八尺之表即 h,当：

h = 8尺

l = 1尺6寸

时，向南16,000里处“日中立竿无影”，即太阳恰位于此处天顶中央，这意味着：

L = 16,000里，或

H = 80,000里

这显然就有：

L/l = 16,000里/1尺6寸 = 1,000里/1寸

即日影千里差一寸。

接着又明确指出，这一关系式是普适的——从夏至日正午时 l = 1尺6寸之处（即周地），向南移1,000里，日影变为1尺5寸；向北移1,000里，则日影增为1尺7寸。这可以在图中看得很清楚。

“日影千里差一寸”示意图

同时，由图1中的相似三角形，显然还有：

L/l = H/h = 1,000里/1寸

在上式中代入 h = 8尺，即可得到：

H = 80,000里

即《周髀算经》中天与地相距八万里的结论，见原文卷上第3节：

候勾六尺，……从髀至日下六万里而髀无影。从此以上至日则八万里。

即在图中令 l = 6尺，L = 60,000里，h = 8尺，就可得出 H = 80,000里。日在天上，故从“髀无影”之地“上至日”80,000里，自然就是天地相距80,000里。

上述关系式其实无论l（即勾，也即日影）是否为6尺都能成立，《周髀算经》之所以要“候勾六尺”，是因为它只掌握勾股定理在“勾三股四弦五”时的特例，[2] 故必须凑数据以便套用这一特例——勾6尺即表至日下60,000里，天地相距80,000里，于是从表“邪（即斜）至日”为100,000里，正是3、4、5的倍数。

《周髀算经》明确建立日影千里差一寸的关系式之后，接着就拓展这一关系式的应用范围。卷上第4节云：

周髀长八尺，勾之损益寸千里。……今立表高八尺，以望极，其勾一丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下。

此处日影不再必要，这只需将图1中的 S 点（原为太阳所在位置）想象为北极位置，就可一目了然，现在：

h = 8尺

l = 1丈3寸

L = 103,000里

“勾之损益寸千里”的关系式仍可照用不误。在《周髀算经》下文对各种问题的讨论中，这一关系式多次被作为已经得到证明的公式加以使用（必须始终在“正南北”方向上）。

讨论到这里，有一点必须特别注意，就是：无论上引第3节还是第4节中所述千里影差一寸的关系式，若要成立，必须有一个暗含的前提——天与地为平行平面。这在图1中是显而易见的，如果没有这一前提，上述各种关系式以及比例、相似三角形等等全都会无从谈起。

这就是说，《周髀算经》将天地为平行平面这一点视为不证自明的当然前提。要理解这一状况，对于现代人来说会比古人困难得多。因为现代人已有现代教育灌输给他的先入之见——大地为球形；所以现代人见到古人这一前提，首先想到的是它的谬误。但古人却无此成见，他们根据直观经验很容易相信天与地是平行平面。这也正是《周髀算经》中“勾之损益寸千里”之说在古代曾广泛被接受的原因。古人认为推出这一结论是显而易见、不容置疑的，这里不妨举一些例：

欲知天之高，树表高一丈，正南北相去千里，同日度其阴，北表二尺，南表尺九寸，是南千里阴短寸；南二万里则无影，则直日下也。[3]

日正南千里而（影）减一寸。[4]

悬天之景，薄地之仪，皆移千里而差一寸。[5]

这些说法都只要看图即可了然。古人后来当然也发现了“勾之损益寸千里”不符合观测事实，但这已是很晚的事了。[6]　在《周髀算经》成书以及此后相当长的年代里，古人对于这一关系式看来并不怀疑。

一些现代论著也曾经注意到《周髀算经》中“勾之损益寸千里”是以天地为平行平面作为前提的，但作者们首先想到的是这一前提的谬误（这一前提当然是谬误的），而他们在指出这“自然都是错误的”之后，[7]　也就不再深究，转而别顾了。

指出《周髀算经》中的错误，在今天来说确实已经没有多少意义；然而，如果我们分析讨论“勾之损益寸千里”及其前提“天地为平行平面”在《周髀算经》的盖天学说中究竟有什么样的地位和意义，却是大有意义之事。

三、公理与定理

在西方历史上，建立科学学说有所谓“公理化方法”（axiomatic method），意指将所持学说构造成一个“演绎体系”（deductive system）。这种体系的理想境界，按照科学哲学家 J.Losee 的概括，有如下三要点：

A. 公理与定理之间有演绎关系；

B. 公理本身为不证自明之真理；

C. 定理与观测结果一致。

其中，B 是 Aristotle 特别强调的。而 Euclid 的《几何原本》被认为是公理化方法确立的标志。但是在天文学上，由于这一学科的特殊性，应用公理化方法会有所变通：

在理论天文学中，那些遵循着“说明现象”传统的人采取了不同态度。他们摈弃了Aristotle 的要求——为了能说明现象，只要由公理演绎出来的结论与观测相符即可。这样，公理本身即使看起来是悖谬的甚至是假的，也无关紧要。[8]

也就是说，只需前述三要点中的一、三两点即可。这个说法确实可以在天文学史上得到证实，Aristotle 的“水晶球”体系、Ptolemy 的地心几何体系，以及中世纪阿拉伯天文学家种种奇情异想的宇宙几何模型，都曾被当时的天文学家当作公理（在这里类似于现代科学家所谓的“工作假说”）来使用而不问其真假。

现在再来看《周髀算经》中的盖天学说，就不难发现，“天地为平行平面”和“勾之损益寸千里”两者之间，正是公理与定理的关系。仔细体味《周髀算经》全书，“天地为平行平面”这一前提是被作为“不证自明之真理”，或者说，是被作为盖天学说系统的公理（亦即基本假设）之一的。

至于“天地为平行平面”之不符合事实，也应从两方面去分析。第一，如上所述，从公理化方法的角度来看，即使它不符合事实也不妨碍它作为公理的地位。第二，符合事实与否，也是一个历史性的概念——我们今天知道这一公理不符合事实，当然不等于《周髀算经》时代的人们也已经如此。

剩下的问题是“定理与观察结果一致”的要求。我们现在当然知道，由公理“天地为平行平面”演绎出来的定理“勾之损益寸千里”与事实是不一致的。演绎方法和过程固然无懈可击，然而因引入的公理错了，所以演绎的结果与事实不符。但对此仍应从两方面去分析。第一，演绎结果与观测结果一致仍是一个历史性概念，在古人观测精度尚很低的情况下，“勾之损益寸千里”无疑在相当程度上能够与观测结果符合。第二，也是更重要的，从公理演绎出的定理与客观事实不符，只说明《周髀算经》所构造的演绎体系在描述事实方面不太成功，却丝毫不妨碍它在结构上确实是一个演绎体系。

四、“日照四旁”与宇宙尺度

《周髀算经》作为一个演绎体系，并不止一条公理。它的第二条公理是关于太阳光照以及人目所见的极限范围，见卷上第4节：

日照四旁各十六万七千里。

人所望见，远近宜如日光所照。

这是说，日光向四周照射的极限距离是167,000里，而人极目远望所能见到的极限距离也是同样数值。换言之，日光照不到167,000里之外，人也不可能看见167,000l里之外的景物。从结构上看，这条原则也属于《周髀算经》中的基本假设，亦即公理。因为这条原则并非导出，而是设定的。

以往学者们在这个问题上的研究，主要是根据《周髀算经》所交代的有关数学关系式，试图去说明此167,000里之值因何而取。尽管各种说明方案在细节上互有出入，但主要结论是一致的，即认为这个数值是《周髀算经》作者为构造盖天宇宙模型而引入的，或者说是凑出来的。然而这里必须注意，拼凑数据固然难免脱离客观实际，同时却也不能不承认这是作者采用公理化方法（或者至少是“准公理化方法”）构造盖天几何模型的必要步骤之一。而且还应该注意到，《周髀算经》引入日照四旁167,000里之值后，在“说明现象”方面确实能够取得相当程度的成功。正如程贞一、席泽宗所指出的：

由这光照半径，陈子模型（按即指《周髀算经》的盖天宇宙模型）大致上可解释昼夜现象及昼夜长短随着太阳轨道迁移的变化。……同时也可以解释北极之下一年四季所见日光现象。[9]

应该看到，在将近两千年前的中国，构造出这样一个几何模型，并且能大致上解释实际天象，实在已属难能可贵。[10]

《周髀算经》的盖天宇宙模型是一个有限宇宙：天、地为圆形的平行平面，两平面间相距80,000里；而此两平面大圆形的直径为810,000里。[11]　此810，000里之值在《周髀算经》中属于导出数值。原书中有两处相似的推导，一处见卷上第4节：

冬至昼，夏至夜，差数所及，日光所逮观之，四极径八十一万里，周二百四十三万里。

另一处见卷上第6节：

日冬至所照过北衡十六万七千里，为径八十一万里，周二百四十三万里。

北衡即外衡，这是盖天模型中冬至日太阳运行到最远之处，以北极为中心，此处的日轨半径为238,000里；太阳在此处又可将其光芒向四周射出167,000里，两值相加，得到宇宙半径为405,000里，故宇宙直径为8i0,000里。注意这里宇宙直径是在《周髀算经》所设定的“日照四旁”167,000里之上导出的。

五、结语

《周髀算经》的盖天学说，作为一个用公理化方法构造出来的几何宇宙模型，和早于它以及约略与它同时代的古希腊同类模型相比，在“说明现象”方面固然稍逊一筹，然而我们在《周髀算经》全书的论证过程中，确实可以明显感受到古希腊科学的气息。从科学思想史的角度来说，公理化方法在两千前的遥远东方，毕竟也尝试了，也实践了，这是意味深长的。

《周髀算经》之后，构造几何模型的公理化方法就在古代中国绝响了。特别令人疑惑的是，《周髀算经》的几何宇宙模型究竟是某种外来影响的结果，还是中国本土科学中某种随机出现的变异？而且，不论是上述哪一种情形，为何它昙花一现之后就归于绝响？可惜这些令人兴奋的问题已经超出了本文的范围。

注释：

[1]　本文所依据的《周髀算经》文本为：江晓原、谢筠：《周髀算经译注》，辽宁教育出版社（1995）。节号是这一文本中所划分之节的序号。

[2]　《周髀算经》原文共有两处直接讲到勾股定理，一处在全书第1节：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩。环而共盘，得成三四五。两矩共长二十五，是为积矩。”另一处在第3节：“候勾六尺，……若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日——从髀所旁（即前文之‘邪’，音、义俱同斜）至日所十万里。”皆为三、四、五之特例。但也有学者认为《周髀算经》中有普适的勾股定理，理由是原文第4节中有三个数据系用勾股定理算出而又非三、四、五之特例。然而《周髀算经》在给出这三个数据时，并未明确陈述勾股定理。必须注意：《周髀算经》在明确陈述勾股定理时皆为三、四、五之特例；况且，《周髀算经》全书中从未给出勾股定理的任何证明——对勾股定理的普适情形的证明是汉代赵爽在为《周髀算经》所作注文中完成的。

[3]　《淮南子·天文训》。

[4]　《尚书纬·考灵曜》。

[5]　张衡：《灵宪》。

[6]　唐李淳风（A.D.602-670）为《周髀算经》作注，列举历史上多次实测记录，明确否定了“日影千里差一寸”的关系式。他可能是历史上最早这样作的人。

[7]　钱宝琮：盖天说源流考，《科学史集刊》创刊号（1958）。这是现代学者系统研究《周髀算经》中盖天学说的第一篇重要文献。

[8]　 J.Losee: A Historical Introduction to the Philosophy of Science, oxford University Press, 1980, P.24-26.

[9]　程贞一、席泽宗：陈子模型和早期对于太阳的测量，《中国古代科学史论·续篇》，（日本）京都大学人文科学研究所（1991）。

[10]　当然，《周髀算经》设定“日照四旁”167,000里之后，在其宇宙模型中“说明现象”时并非没有捉襟见肘之处。最明显的例子之一是春、秋分日的日出方位。在这两天，太阳应是从正东方升起而在正西方落下；但依据日照167,000里的设定，此两日的太阳却是从周地的东北方升起而在西北方落下，这是不符合事实的。不过对于冬至日的日出方位，《周髀算经》仍能正确描述。

[11]　关于《周髀算经》中盖天宇宙模型究竟是何种形状与结构，现代论著中始终有重大误解。对此笔者另有专文“《周髀算经》盖天宇宙结构考”详细剖析论证。

中国古籍中天狼星颜色之记载

一、问题及其意义

天狼星(Sirius，αCMa)为全天最亮恒星，呈耀眼的白色。它还是目视双星，其中B星(伴星)又是最早被确认的白矮星。但这一著名恒星却因古代对其颜色的某些记载而困扰着现行恒星演化理论。

在古代西方文献中，天狼星常被描述为红色。学者们在古巴比伦楔形文泥版书中、在古希腊、罗马时代Ptolemy(托勒密)、L.A.Seneca(塞涅卡)、M.T.Cicero(西塞罗)、Q.H.Haccus(贺拉斯)等著名人物的著作中，都曾找到这类描述。1985年W.Sehlosser和W.Bergnmma又旧话重提，宣布他们在一部中世纪早期手稿中发现了图尔(Tours，在今法国)的主教Gregory写于公元6世纪的作品，其中提到的一颗红色星可确认为天狼星，因而断定天狼星直到公元6世纪末仍呈红色，此后才变白〔1〕。由此引发对天狼星颜色问题新一轮的争论和关注。〔2〕

按现行恒星演化理论及现今对天狼双星的了解，其A星正位于主星序上，根本不可能在一二千年的时间尺度上改变颜色。若天狼星果真在公元6世纪前呈红色，理论上惟一可能的出路是将目光转向暗弱的天狼B星：该星为白矮星，而恒星在演化为白矮星之前会经历红巨星阶段，这样似乎有希望解释古代西方关于天狼星呈红色的记载——认为那时B星盛大的红光掩盖了A星。然而按现行恒星演化理论，从红巨星演化为白矮星，即使考虑极端情况，所需时间也必然远远大于1500年，故古代西方关于天狼星为红色的记载始终无法得到圆满解释。

于是天文学家只能面临如下选择：或者对现行恒星演化理论提出怀疑，或者否定天狼星在古代呈红色的说法。

古代西方对天狼星颜色所作描述的真实性并非完全无懈可击：Seneca、Cicero、Flaccus等人或为哲学家，或为政论家，或为诗人，他们的天文学造诣很难获得证实；Ptolemy虽为大天文学家，但其说在许多具体环节上仍不无提出疑问的余地。至于Gregory所记述的红色星，不少人认为并非天狼星，而是大角(Arcturus，αBoo)〔3〕，该星正是明亮的红巨星。

而另一方面，古代中国的天文学—星占学文献之丰富、系统以及天象记录之细致是众所周知的。因此，有必要转而向早期中国古籍中寻求证据。为了保证史料的权威性，本文将考察范围严格限定于古代专业文献之内，哲学或文艺之类的论著概不涉及。

二、中国古籍中记载恒星颜色的一般情况

古代并无天体物理学，古人也不会以今人眼光去注意天体颜色。古代中国专业文献中之所以提到恒星和行星的颜色，几乎毫无例外都是着眼于这些颜色的星占学意义。首先必须指出，在绝大部分情况下，这些记载对于本文所讨论的主题而言没有任何科学上的意义。它们通常以同一格式出现，姑举两例如下：

其东有大星日狼。狼角、变色，多盗贼。〔4〕

狼星……芒、角、动摇、变色，兵起；光明盛大，兵器贵。……其色黄润，有喜；色黑，有忧。〔5〕

上述引文中“狼星”均指天狼星(古人并不知其为双星)。显而易见，天狼星随时变色，忽黄忽黑(有些这类占辞中也提到红色)，甚至发生“动摇”，以现代天文学常识言之是根本不可能的。而在古代中国星占学文献中，却对许多恒星都有同类说法(只是其兆示之事务有不同而已)。如将这类恒星变色、“动摇”之说解释为大气光象给古人造成的幻觉，虽然还很难完全圆通其说，但无论如何，至少可以肯定，欲解决天狼星在古代的颜色问题，求之于这类记载是没有意义的。〔6〕

值得庆幸的是，古代中国星占学体系中还留下了另一类数量很少但却极为可靠的记载。古人除相信恒星颜色有星占学意义外，对行星也作如是观，下面是这方面最早、也是最典型的一则论述：

五星色白圜，为丧、旱；赤圜，则中不平，为兵；青圜，为忧、水；黑圜，为疾，多死；黄圜则吉。赤角，犯我城；黄角，地之争；白角，哭泣之声；青角，有兵、忧；黑角则水。〔7〕

行星随时变换颜色及形状，同样是不可能的，这可姑置不论。但必须注意的是，古人既信此为真，则势必要为颜色制定某种标准——事实上，具体的做法是确定若干颗著名恒星作为不同颜色的标准星。对这一做法有必要进一步加以讨论。

现今所见这方面的最早记述出自司马迁笔下。他在谈论金星(太白)颜色时，给出五色标准星如下：

白比狼，赤比心，黄比参左肩，苍比参右肩，黑比奎大星。〔8〕

上述五颗恒星依次为：天狼、心宿二( Sco)、参宿四( Ori)、参宿五( Ori)、奎宿九( And)。司马迁对五颗恒星颜色记述的可靠性可由下述事实得到证明：五颗星中，除天狼因本身尚待考察，暂置不论外，对其余四星颜色的记载都属可信。心宿二，光谱为M1型，确为红色；参宿五，B2型，呈青色(即苍)；参宿四，今为红色超巨星，但学者们已证明，它在两千年前呈黄色按现行恒星演化理论是完全可能的。〔9〕最后的奎宿九，Mo型，呈暗红色，但古人将它定义为黑也有其道理。首先，古代中国五行之说源远流长，深入各个方面，星分五色，正是五行思想与星占学理论结合的重要表现之一〔10〕，而与五行相配的五色有固定模式，必定是青、红、黑、白、黄，故其中必须有黑；其次，此五色标准星是观测时作比照之用的，若真正为“黑”，那就会看不见而无从比照，故必须变通。

对于本文所讨论的问题而言，还有另一个可以庆幸之处：古人既以五行五色为固定模式，必然会对上述五色之外的中间状态进行近似或变通，硬归人五色中去，则他们谈论星色时就难免不准确；然而在天狼星颜色问题中，恰好是红、白之争，两者都在上述五色模式中，故可不必担心近似或变通问题。这也进一步保证了利用古代中国文献解决天狼星颜色问题时的可靠。

三、几项天狼星颜色记载之分析

由上节讨论可知，只有古人对五色标准星的颜色记载方属可信。这类记载在古代中国浩繁的星占学文献中为数极少，但我们恰可从中考察天狼星的颜色。表1是早期文献(不考虑公元7世纪之后的史料)中仅见的四项天狼星颜色可信记载的原文、出处、作者和年代一览。再对这四项记载进行分析与说明如下：

第一项，情况比较简单。司马迁自述“当太初元年(104B.C)……太史公曰：先人有言，小子何敢让焉，于是论次其文”〔11〕，这是他开始撰写《史记》之年，由此将《天官书》之作约略系于100B.C.(推求精确年份在事实上既办不到，对本文所论内容也无意义)。

第二项，《汉书》为班固(32－92A.D.)撰，但其中《天文志》等部分他生前未能完成，后由其妹班昭及马续二人续成之。《后汉书》记其事云：

兄固著《汉书》，其八表及天文志未及竟而卒，和帝诏昭就东观藏书阁踵成之。……后又诏融兄续继昭成之。〔12〕

孝明帝使班固叙《汉书》，而马续述天文志。〔13〕

由班昭生卒年(497—1207 A.D.)及汉和帝在位之年(89—105A.D.)，系此项于100A.D.。

第三项，《荆州占》原书已佚，但在《开元占经》、《乙巳占》等书中有大量引录。此书被归于刘表名下。李淳风在《乙巳占》中开列他自述“是幼小所习诵”之星占学参考书共25种，其第18种即“刘表《荆州占》”〔14〕。刘表(142—208A.D.)自190A.D.任荆州刺史起，长期统治荆州地区，形成割据状态。《荆州占》出自他本人手笔还是由他召集星占学家编成已不得而知。这样就只能仍归于他名下，而系此项于200A.D.。

第四项情况也很简明。《晋书》成于646A.D.,其中《天文志》出于李淳风之手。

虽然因古代中国著作向有承袭前人旧说的传统，表1中四项记载在相当程度上可能是相关的，但并不能据此就认为古代星占学家在此问题上完全没有自己独立的见解。《荆州占》将天狼与织女同列为白色标准星，就很值得注意。天狼与织女(织女一，αLyr)确属同一类型的白色亮星，例如在现代MK光谱分类中，天狼为Aly型，织女为Aoy型，差异很小。这也进一步证实了表1中四项天狼星颜色记载的可靠性。

表1 古籍中四项对天狼星颜色之可信记载

Table 1： 4 Records Of Sirius’s Colour from Ancient Chinese

Materials(100B.C.～646A.D.)

原文

出处

作者

年代

白比狼

《史记·天官书》

司马迁

100 B.C.

白比狼

《汉书·天文志》

班固

班昭

马续

100 A.D.

白比狼星、织女星

《荆州占》〔15〕

刘表

200 A.D.

白比狼星

《晋书·天文志中》

李淳风

646 A.D.

四、结论

至此已可确知：在古代中国星占学文献中，大量虚幻的恒星变色、动摇之类的星占设辞不能用来考察恒星当时的实际颜色，而在可信的记载中，则天狼星始终是白色的。不仅没有红色之说，而且千百年来一直将天狼星视为白色标准星。这在本文考察的早期文献中是如此，此后更无改变。因此可以说，现行恒星演化理论将不会在天狼星颜色问题上再受到任何威胁了。

最后还可指出，天狼星颜色问题不仅已困扰西方天文学家至少一个多世纪，而且早在上个世纪就已被介绍到中国。清末王韬与伟烈亚力(A．Wylile)合译《西国天学源流》(1890)，其中谈到天狼星颜色：“古人恒言天狼星色红，今色白，不知何故?”可惜学者们至今尚未能发现《西国天学源流》据以翻译的原书为何。〔16〕当时这一问题的意义自然还未充分显现出来。

还有些现代西方学者则既对西人古籍中天狼星为红色之说深信不疑，又不想与现行恒星演化理论发生冲突，遂提出“古代曾有一片宇宙云掩过天狼星而将星光滤成红色”之类的假说。〔17〕现既有古代中国文献关于天狼星始终为白色的确切记载，这类假说应可断然排除了。此外，司马迁的年代早于Ptoemy两百余年，司马迁既已将天狼星作为白色标准星，则该星此后再变红更是绝无可能，故Polemy天狼星为红色之说之不可信是显而易见的。