编辑&审校&配图：杨夕歌
我们的故事将从对称性和对称破缺讲起。（有兴趣的读者也可以参考我们之前的文章《宇称为什么不守恒？》）
一、对称性与对称破缺
在笔者看来，对称性与对称破缺是现代物理学中最迷人最优美的发现。它们不仅广泛存在于自然现象中，而且蕴含着极为深刻的哲学思想。“对称”代表着一种美，而它的“破缺”则是一种“不完美”的体现，是一种“美的破缺”。甘瓜苦蒂，天下物无全美，恰恰是这种“美的破缺”营造了我们这个丰富多彩的世界；而在“破缺”中又无处不体现着对称的美，二者你中有我，我中有你，科学思想的精妙尽展其中，令人叹为观止。
图一：老北京城的中轴线
早在古希腊时代，西方哲学的先哲们就已经开始探索各样的“对称”，并开始为科学发展奠定思想的根基。从那个时代开始，“对称性”就成为了美的象征，甚至成为了一种科学的信仰。我们看到世界各地的建筑设计，室内装潢，景观布置，乃至城市区域规划都采用了大量具有各种对称性结构的几何图案，例如老北京城的中轴线（图一）就体现了对称性的美学效应。人类对于对称性的喜爱和使用超越了时间跨度和文化差异，人类对对称性的探索和理解也在随着数学思想的发展逐步深入，走过了从直观到抽象的跨越，但对于对称性的美的信仰却从未改变。
随着数学理论的发展，人类对对称性的理解上升到了新的高度，群论成为了科学家们研究对称性的有力工具。虽然群论在数学上是一个抽象的概念，但直观地说，群论是用来研究各种“变换”的，群里面的元素就是一种对称性的“操作”，这些变换或者操作组成的集合就是一个“群”。
那么为什么群论能够成为研究对称性的基本工具呢？“对称的破缺”又是如何在其中体现出来的呢？我们用一个简单的例子来解释这个问题。
我们现在对一个正方形以它的中心为基点施加一个旋转变换，我们发现一共有四种旋转：旋转90度，180度，270度，360度，使得它在旋转后依旧能够变成它自己本身的图案，这种旋转变换我们称之为对称操作，或者“对称变换”，这些对称变换就能组成一个“群”。同理，我们也可以讨论圆形的对称变换——不难发现，圆的对称变换其实有无穷多种，因为旋转任意一个角度都是圆的一种对称变换。简单的说，圆与正方形都有自己的对称性，且他们的对称性都可以由这些“对称变换群”来描述。
图二：上图是圆形和正方形的对称变换。同理，我们也可以讨论正六边形，正八边形等具有对称性的几何图案。我们看到，研究其“对称变换（操作）”是研究其对称性的基本方法。
显然，圆形的对称性的程度是高于正方形的，因为圆的对称变换包含了正方形的对称变换。由此我们也能直观地理解“对称破缺”的含义——我们考虑这样的一个圆形逐步变换成一个正方形的过程，在这个图形变换的过程中，圆形本身的对称性被破坏了，只保留了一部分对称性（由任一角度旋转对称变换为仅仅四个角度旋转对称）。这个变换的过程就是对称破缺（Symmetry Breaking）。
我们可以用“对称性”的思想来研究一个物理系统。这个物理系统可能不具备一个直观的几何图像，但依然可以有自己的对称性，而这种对称性也由这个系统所对应的某种“对称变换群”来描述，我们也用这种方式来研究这个系统的对称性，而这种“对称变换群”，在现代物理学中一般都是物理系统的某种“坐标变换群”。
更严格地说来：物理系统是由某些物理量来刻画的，而这些物理量又有对应的作用量（作用量是函数的函数，在数学上我们称之为泛函）。这些物理量可以是一些函数，它们拥有属于自己的坐标系。由于坐标系的选取是可以变换的，当我们对这些坐标系施加变换（是一种对称变换）的时候，所对应的物理量也会随之变换，但是正如对一个圆形施加旋转变换后它依然是一个圆，刻画物理系统的作用量在形式上却不会发生变化，我们把这种性质称之为对称性（也叫协变性）。由这个具有对称性的作用量，我们还能推导出物理系统的运动方程（对作用量使用变分法），这些方程也会具有相应的对称性（或协变性）。
对称性和对称变换是现代物理学中里程碑式的伟大思想。我们用一张图来简要阐述之：
图三
笔者和小编注
上述思想和物理图像在现代物理学中许多重要领域都处于核心地位。爱因斯坦的广义相对论就是对称性思想的直接应用，以时空四维空间为坐标基底，以“广义协变性”为坐标对称变换，作用量是希尔伯特—爱因斯坦作用量，运动方程就是引力场场方程。电磁理论也可以用对称性的思想来阐述，以闵可夫斯基四维空间为坐标基底，四维磁势为物理量，施加 U(1) 规范对称坐标变换，其运动方程就是麦克斯韦方程，电磁场具有规范对称性。标准模型中的强，弱相互作用也都具有类似的规范对称性，但是强相互作用对应的规范对称群是 SU(3) ，弱相互作用的规范对称群是 U(1)×SU(2) 。在经典力学中，牛顿力学的体系也能建立在对称性的思想之上，还有很多很多这样的例子，读者可以自行总结。
在上文中：
U(1)：一阶酉群。从数学上看来，是所有使平面上以原点为圆心的圆保持对称的变换构成的群（二维平面绕原点的旋转+关于所有通过原点直线的翻折）；
SU(2)：二阶特殊酉群。从数学上看来，是所有使以原点为圆心的二维球面保持对称，且不带翻转的变换构成的群（三维空间绕原点的旋转）；
U(1)×SU(2)：一阶酉群和二阶特殊酉群的笛卡尔积。
二、弱相互作用和电弱统一
2.1 弱相互作用是什么？
我们的讨论从“弱相互作用”开始，这与我们之后要讨论的希格斯机制密切相关。什么是弱相互作用呢？
根据前一节对称性的思想路线，我们在研究一个物理系统时要抓住三个最重要的因素：刻画物理系统的物理量，系统的作用量，和与系统对应的对称变换。
自然界所有的力学作用，追根溯源都可以归类为四种基本的相互作用：引力相互作用，电磁相互作用，强相互作用，和弱相互作用。这四种相互作用在不同的物理世界中主导了最基本的自然规律，例如引力相互作用是宇宙学和天文物理的基本研究对象；电磁相互作用在我们日常生活中随处可见；而强相互作用则在原子核内部发挥作用，它把质子和中子牢牢控制在原子核内部。至于我们要讨论的弱相互作用则发生在更加微观的尺度，它是夸克，轻子（电子，中微子等微观粒子）之间的相互作用, 弱相互作用最著名的物理现象是 β 衰变，简单地说，就是一个中子会自发消失，然后“变成”一个质子，一个电子和一个中微子，是一种微观粒子在弱相互作用的主导下发生的衰变反应。
图四、四种基本相互作用
那么这种神奇的粒子反应是如何发生的呢？按照汤川秀树（日本物理学家，1949年诺贝尔物理学奖得主）的相互作用理论，所有的微观粒子相互作用都是由相应的一种粒子来传递相互作用的，这种粒子被称之为媒介子。而弱相互作用的媒介子由三种微观粒子 :
我们同样使用上述对称性的思想来研究弱相互作用这种物理系统，那么这三个四维的波函数 , , 就是刻画该物理系统的物理量。
2.2 电弱统一理论简介
刻画弱相互作用的物理模型是 U(1)×SU(2) 电弱相互作用模型（Electroweak interaction），也就是著名的电弱统一理论，笔者在这里做简要阐述。由于传递弱相互作用的其中两个场粒子 是带电的，所以自然就想到弱相互作用中会包含电磁相互作用，这两种相互作用会耦合在一起。所以在研究弱相互作用的时候，可以一次性引入四个场函数
弱相互作用物理量已经有了（也就是上面提到的规范场），那么它的作用量长什么样呢？这个作用量可以表示成一个杨-米尔斯规范作用量（这里为了简单起见，我们省略电磁作用）:
图五、弱相互作用量（杨-米尔斯理论的一部分）
其中
图六、洛伦茨矩阵（狭义相对论变换矩阵，光速被去量纲化为 1）
这里我们暂时不考虑杨-米尔斯理论的具体细节。我们在这里需要知道的就是， 是一个由 , , 来表达的函数，所谓的作用量就是这三个场函数的函数（泛函）；而 , , 的运动方程，则可以通过对作用量直接求变分计算获得。
图七：变分方程。以上方程又名欧拉-拉格朗日方程，这是拉格朗日力学中的常用手段。
现在我们已经获得了刻画弱相互作用的物理量和作用量。三件圣器已得其二，最后的圣器就是这个物理系统所具有的对称性。事实上这个系统具有不止一种对称性，我们这里重点关心的是它的“规范对称性”，也就是规范场 所具有的对称性。我们知道，每个微观粒子都可以用一个波函数来表示，而这里的规范变换是定义在费米子（中子、质子、电子等）的波函数 ψ 上的 —— 我们在前文已经提及到，弱相互作用是发生在夸克，轻子（电子，中微子等微观粒子）之间的相互作用，这个波函数就是夸克，轻子等微观粒子的波函数。所谓的规范变换本质上就是一个对称变换（群变换），且当我们对这个波函数施加一个规范变换
图八、场函数 的变换法则
通常情况下取
图九、场函数
2.3 玻色子与费米子
笔者强调，所有的规范场理论都是由以下两部分组成的：刻画费米子（fermion）的波函数 ψ 和媒介子的场函数 ，其中媒介子是用来传递相互作用的，它们一般都是玻色子（Bosons）。玻色子和费米子分工很明确——相互作用的主体是费米子，而由玻色子组成的媒介子在其中传递这些相互作用。玻色子 ψ 和费米子 之间满足图八中的规范对称变换。以电磁相互作用为例，电磁相互作用由具有电荷的带电粒子产生，例如电子，而传播电磁相互作用的是光子，它是电磁相互作用的媒介子，也是玻色子。同理，弱相互作用中的在轻子，中微子等微观粒子就好比电磁作用中的电子，而由媒介子 , , 起到的作用就好比光子在电磁作用中的传递作用。这也是玻色子和费米子在相互作用中所发挥作用的区别。
图十、和费米子比起来，玻色子更像是没有感情的信息/相互作用传递者
笔者补记
我们可以小结一下玻色子与费米子在不同物理系统中的区别。从物质构成的角度来分析，费米子是 “组成物质 ” 的基本粒子，例如电子，质子，中子这些都是费米子，而玻色子是在不同的费米子之间传递相互作用的，玻色子有点像不同费米子之间的粘合剂。可以设想，我们的宇宙是一个巨大的建筑，建筑由不同的材料构成：砖头，石板，水泥板，钢筋混泥土...，这些材料都是费米子，可是如何把这些材料组建在一起建立一座大厦呢？建筑工人会使用一系列“基本方法”把不同的材料粘合在一起，用砖头建成墙面，用墙面建成房间，用房间建成楼层，楼层组成大楼，每一层的组装都需要用不同的“基本方法”,这些“基本方法”对于我们宇宙而言就是不同的“基本相互作用”，而这些基本相互作用就是由玻色子来传递完成的，例如光子，胶子，
粒子都是玻色子。
从性质上来分析，费米子是半分数自旋（自旋是基本粒子的内秉属性。自旋并非代表粒子真的在旋转，而是该属性使得粒子产生了磁场），玻色子是整数自旋。玻色子的这种性质使得它很容易被用一个场来表示。实际上，标准模型中的规范场都是玻色子场，满足洛伦茨对称性，而费米子则直接使用波函数来表示。此外，玻色子和费米子的运动方程也不一样。费米子直接使用狄拉克方程（薛定谔方程的扩展，可以描述满足狭义相对论的费米子运动轨迹），玻色子则是克莱因-戈尔登方程（下一节会进一步介绍），由不同类型的作用量求变分得到。费米子满足泡利不相容原理，导致了费米子的研究方法会更复杂一些。
值得一提的是，规范场 的出现，其实来源于协变导数（Covariant Derivative）。这个协变导数是为了使得描述费米子运动轨迹的狄拉克方程在规范变换下具有对称性（不熟悉狄拉克方程的读者直接跳过即可）：
图十一、狄拉克方程（红色框里的）。其中 ħ 是普朗克常数，Φ 是 N 维向量，代笔某个费米子的 N 个粒子态，m 是 N 维对角质量矩阵
协变导数 正好使得在图八的规范变化下，图十一中的狄拉克方程形式上保持不变（有兴趣的读者可自行推导，或参考文献 [2] 的 3.1.3 小节）。这看似很圆满，但值得一提的是，单独规范场 并不满足上述规范对称性，也就是说在图九的变换法则下，
这一事实，正是希格斯机制被提出的关键。
三、对称破缺与希格斯机制
在上一节中我们已经知道，弱相互作用的媒介子 , , 由规范场 来刻画，这是一个玻色子场，其运动方程是所谓的克莱因-戈尔登方程（Klein Gordon Equation）。克莱因-戈尔登方程其实就是狭义相对论中动量-能量关系的量子化——考虑一个质量为 m 的玻色子的场函数 φ ，了解狭义相对论的读者肯定对大名鼎鼎的 “相对论动能三角公式”有所耳闻：
图十二、动能三角公式
按照量子力学的一般操作，用
图十三、克莱因-戈尔登方程
我们注意到，在克莱因-戈尔登方程中，线性项
弱相互作用的媒介子 , , 都是玻色子，因此我们可以把
规范场项 并不满足规范对称性。
其实早在1953年，杨振宁和米尔斯最早建立规范场理论的时候，奥地利物理学家泡利就已经意识到这个问题的存在和严重性。在杨振宁的回忆录中他回忆道 [3]：
“奥本海默邀请我在 2 月底回到普林斯顿几天来报告我的研究……在我的报告会开始后不久，泡利就问我 '这个场的质量是什么？’我说我不知道。然后我继续我的演讲，但是不一会儿泡利又问了我同样的问题。我说了一些像是对于这样的效应这是一个非常复杂的问题，我们已经开始研究它了，但是还没有一个确切的结论之类的话。我仍然记得他一再重复：'这不是一个充分的借口。’我对他的反应很吃惊，所以我在短暂犹豫之后决定坐下来停下演讲，那场面十分的尴尬。最后，奥本海默说，'我们应该让杨振宁继续讲。’然后我才回去继续讲了下去，并且泡利在我之后的演讲过程中没有问更多的问题......”
因此，如果规范场所刻画的玻色子不允许拥有质量，那么规范场将不再是一个能够被广泛应用的物理理论；但另一方面，如果允许这些粒子拥有质量，那么它们的规范对称性又将被破坏。
这个难题困扰了物理学界数十年之久。一直到 1964 年，在南部阳一郎（获得 2008 年诺贝尔物理奖，弦理论提出者之一）和希格斯等物理学家的努力下，终于出现了一套解决上述问题的方案，就是建立在“自发对称破缺”（Spontaneous Symmetry Breaking）思想之上的希格斯机制，该机制同时预言了希格斯粒子的存在。其解决方案思路是，在作用量中添加一个新的场 Φ （它就是大名鼎鼎的希格斯粒子） 以及作用量
但是当我们从这个作用量推导运动方程的时候（用变分法），就会发现这个希格斯粒子会与媒介子 , , 发生相互作用。当我们对希格斯粒子施加一个基态的平移（类似于量子力学中的跃迁变换）之后，刻画媒介子的克莱因-戈尔登方程就会自动出现和质量有关的线性项 ！换句话是说，这些媒介子通过与希格斯粒子发生相互作用而拥有了质量，却因此破坏了运动方程的规范对称性（此处略去具体的数学推导，有兴趣的读者可参考文献 [2] 的 3.3.2 小节）。
简而言之，这些弱相互作用的媒介子之所以能够拥有质量，是因为希格斯粒子的存在并与之发生相互作用，这种质量产生机制就是希格斯机制；与此同时产生质量的代价是规范对称性被破坏，这就是所谓自发对称破缺的物理思想。在希格斯机制下，质量就好比水的阻力，在单纯泡温泉的情况下我们没办法感受到的存在，因为我们没有和水发生相互作用；但若我们一旦在水里游泳，人与水发生相互作用，我们立马就能感受到水的阻力，并将该阻力转化为前进的动力。
然而到此为止，希格斯玻色子仅仅只是理论预测，它亟需得到实验的验证。功夫不负有心人，2013年3月14日，欧洲核子研究中心正式宣布在探测中发现希格斯粒子，而该年的诺贝尔物理学奖也立即被颁发给独立提出希格斯机制的恩格勒和希格斯。如今，希格斯粒子以及希格斯机制早已成为研究微观粒子相互作用的”标准模型“的重要组成部分。
图十四、弗朗索瓦·恩格勒（左）和彼得·希格斯（右）获得 2013 年诺贝尔物理学奖。图片来自诺贝尔奖官网
正如我们所讨论的，希格斯机制是使得弱相互作用的媒介子获得质量的重要原因，所以希格斯粒子也获得了“上帝粒子”的称号，那么是不是所有的微观粒子的质量都来自于希格斯机制呢？这实际上是一个开放性的问题，有的人认为世间万物的质量都源于希格斯粒子。然而事实上，答案很可能是否定的——至少中微子的质量产生机制并不源于希格斯粒子 [4]。笔者和小编认为，微观粒子的质量产生机制比较复杂，它也与粒子的运动状态有关。
事实上和希格斯机制相比，自发对称破缺是更为重要的物理思想。正如本文一开始所说的，对称性在物理学中是美的象征，但是不同的物理系统具有不同的对称性，当不同的物理系统发生耦合的时候，其本身的对称性都有可能被破坏，发生对称破缺。我们生活在不同物理系统耦合在一起的世界中，这样的自发对称破缺其实是非常普遍的，而希格斯粒子的概念，也早已被推广到更加广泛的物理系统中。在当下颇为热门的凝聚态物理中，自发对称破缺也是最基本的物理思想之一，笔者还将推出相变系列的科普文章，阐述物理系统在相变过程中的自发对称破缺现象。
参考文献：
[1]Tian Ma, Shouhong Wang: Mathematical Principles of Theoretical Physics, Science Press, August 2015, 524pp. 电子版地址：http://www.indiana.edu/~fluid/MPTP.pdf;
[2]马天：《从数学观点看物理世界--基本粒子与统一场理论》，科学出版社，2014. 电子版地址：http://tinyurl.com/y83v7679，51.9M大小;
[3] https://fanpusci.blog.caixin.com/archives/237962
[4] https://physics.aps.org/articles/v6/111#:~:text=The%20more%20strongly%20a%20particle,that%20holds%20these%20particles%20together.
转载内容仅代表作者观点
不代表中科院物理所立场
来源：科普最前线
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