开篇：光既是波，也是粒子。
一、量子理论的两种表述
1. 矩阵力学
1.1 背景：德国理论学家维尔纳·海森堡一直在努力了解原子光谱的细节。巴尔末公式和玻尔的原子模型虽然已经给出了对光谱的解释，但海森堡想寻求一个对光谱性质更广泛的解决方案。海森堡当时使用的是被称为矩阵（按照特定方式乘在一起的数组）的数学对象的运算操作。海森堡的发现被称为矩阵力学。
1.2 矩阵和简单数字的区别：矩阵不能相互交换，即乘积AB和乘积BA通常是不相同的，乘法的顺序至关重要。矩阵的这种数学性质有着非常重要的物理意义，它和量子力学中什么物理量能够被同时测定密切相关。
2. 波动力学
2.1 波动力学的开创：
2.1.1 路易斯·德布罗意建议：若波动的光也能表现出粒子的性质，那么人们也许可以相应地预期粒子（比如电子）同样能表现出波动性。普朗克已经使能量的粒子性质与频率的波动性质成比例。因此，德布罗意建议：另一个粒子性质——动量（用来定义明确且大体上对应于粒子持续运动的能力）应该类似地与另一个波动性质——波长相关，且相关比例系数还是普朗克的普适常数。这种等价性可以把粒子翻译成波，或将波翻译成粒子。后来实验证明了电子确实能表现出波动行为。
2.1.2 埃尔温·薛定谔认为可以从波动力学推导出几何光学（几何光学把光视为按直线传播，并按照简单的规则进行反射和折射的射线），他按照这个思路发现了薛定谔方程，该方程是量子理论的基本动力学方程，且薛定谔也能从薛定谔方程推导出巴尔末公式。
备注：马克斯·玻恩和保罗·狄拉克确定了有一个基于一般原理之上的理论，其数学描述可以表现为许多等价的形式。因此，海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学其实是做出了同样的发现、仅仅是表述不同。
二、量子力学
1. 叠加原理：叠加原理是一种新的可能性。量子理论允许态的混合叠加，但在经典物理中，态是彼此排斥的。正是这种几率叠加区分了量子世界和日常的经典物理世界。
2. 双缝和态叠加：双缝干涉实验所产生的衍射图案（对干涉效应的称谓）是电子表现出波动行为的明确标志。该现象是电子波粒二象性的一个例子：电子一个接着一个到达探测屏是粒子行为，而在探测屏上产生的集体干涉图样则是波动行为。并且在实验中发现，在A和B两条缝的中间点对应的探测屏处沉积了最多的电子。
2.1 双缝干涉实验所产生的疑问：当一个不可分的单个电子穿过仪器时，它是通过哪一道狭缝到达探测屏的？
2.2 针对上述疑问进行的实验：先假设电子是通过狭缝A到达探测屏的，如果是这样，则狭缝B可有可无，所以实验人员就关闭了狭缝B。但关闭B缝后，电子最可能到达的地方就不是A和B两条缝的中间点对应的探测屏处了，此时电子最可能到达的地方是距离狭缝A最近的探测屏处。同理可证，若关闭狭缝A，只打开狭缝B，电子最可能到达的地方是距离狭缝B最近的探测屏处。
由此可以推断出：在双缝同时打开的情况下，电子既没有通过狭缝A，也没有通过狭缝B（因为若通过的是单一的一条缝，电子最有可能到达的地方是该缝对应的探测屏处，而不是到达双缝的中点对应的探测屏处），而是这个不可分的电子同时通过了A和B两条狭缝。就量子理论的叠加原理而言，这种解释完全合理，即电子的运动状态是“通过狭缝A的状态”和“通过狭缝B的状态”的相加。
2.3 叠加原理暗含的量子理论的普遍特征：
2.3.1 对于物理过程中所发生的情况已经不再可能形成清晰的图像。
2.3.2 当我们进行观测时，已经不可能精确地预言将会发生什么。
2.4 改造双缝干涉实验：在双缝的每一条缝附近都放一个探测器，从而可以确定电子究竟是从哪一条缝通过的。
2.4.1 改造双缝干涉实验后的结果一：电子有时被靠近狭缝A的探测器探测到，也有时被靠近狭缝B的探测器探测到，在任何一个特定时刻，根本不可能预测电子究竟在哪里可以被找到。且电子通过两道狭缝的机会会变成一半一半。
2.4.2 改造双缝干涉实验后的结果二：破坏了探测屏上的干涉图样，电子不再倾向于到达探测屏的中点，且到达狭缝A对面和到达狭缝B对面的电子数目是平均分布的。
总结：发现什么样的电子行为取决于想要寻找什么样的电子性质。即，询问一个粒子性的问题（电子通过哪一条狭缝？），就会得到一个粒子性的答案；询问一个波动性的问题（仅仅是关于探测屏上最终形成的图样），就会得到一个波动性的答案。
3. 几率
3.1 背景：马克斯·玻恩首次清晰强调了量子理论的几率特征。
3.2 几率解释暗示着：测量时刻必须是瞬时的、不连续改变的时刻。若电子处于一个状态，它的几率会分散到 here, there 或 everywhere，但当测量该电子的位置并发现此时它在 here 时，电子的几率分布就会突然改变，变得仅仅集中在测量的确切位置 here。而由于几率分布是从波函数计算出来的，所以波函数也必须不连续地改变，这种突然改变被称为“波包塌缩”（由于薛定谔方程本身没有揭示出这种行为，所以波包塌缩是一个额外条件，必须从外部强加到理论上）
4. 观测量
4.1 背景：经典物理描述的世界是清晰确定的；量子物理描述的世界是模糊不稳定的。从量子理论的数学表述来看，这些性质源自量子叠加允许状态混合，这个可加性原理可以利用矢量空间来找到一个自然的数学表达形式。
4.2 矢量空间：普通空间的矢量可以想象为一个箭头，具有已知的长度，并指向已知的方向，且矢量能够一个接一个地加在一起（加和）。而希尔伯特空间（一种特别复杂的矢量空间形式）就为量子理论提供了出色的数学工具。
4.3 希尔伯特空间的算符：在连接数学形式和物理的方案中，矢量与态对应，算符与观测量对应。算符可以将一个态变换到另一个态。
4.3.1 观测量的例子：物理学家如果想知道电子的位置或动量，就必须进行观测，给系统引入一个实验干预（例如用一套特定的电场和磁场使粒子偏转）。
4.3.2 算符的性质：算符通常相互不对易（算符作用的次序至关重要）。算符总是从右往左读，例如：R2.R1 指的是“先执行 R1，再执行 R2”。“非对易性”是一个重要物理性质的数学对应。
备注：矩阵也可以看作算符。海森堡使用的非对易性矩阵是算符一般性质的另一个特例。
4.3.3 连接数（观测结果）和算符（数学形式）的方法：抽象理论要让物理观测有意义，就必须有一个连接数和算符的方法。核心思想就是本征矢量和本征值。
4.4 本征矢量和本征值：如果算符 O 将一个特定的矢量 v 变成它自身的 λ 倍，则 v 就是算符 O 的本征矢量；而 λ 就是算符 O 的本征值。
4.4.1 基本思想：本征值 λ 提供了一个连接数与特定算符 O 和特定态 v 的数学方法。
4.4.2 量子理论的一般原理要求：本征矢量（也称作本征态）在物理上对应于某个态，而在该态上测量观测量 O 将必然产生结果 λ。这条规则所产生的逆命题是：由于有大量的矢量不是本征矢量，因此将会有许多态，在其中测量 O 必然不会产生特定结果。因此，在后面这类状态中测量算符 O（对应观测量），在不同的测量情况下一定会给出多种不同的答案，这证明了量子理论的几率特征。
实际上，不论得到什么结果，随后产生的状态必须对应于本征态，即，矢量必须立即转变为合适的算符 O 的本征矢量，这是波包塌缩的另一种说法。
4.4.3 另一个重要结果涉及的问题：什么测量能相互兼容（即可以同时测量）？只有算符相互对易的观测量，同时测量才能相互兼容；而不相互对易的观测量不能同时进行测量。例如：人们不可能同时知道任意精度的电子位置和动量值。
5. 不确定性原理
5.1 不确定性原理的意义：该理论应该指定它允许人们通过测量来知道的东西。不同于上述的数学视角，海森堡利用“思想实验”去探索量子力学的物理内容。
5.2 思想实验的目的：为了找出测量电子的位置和动量原则上可以精确到何种程度。
5.3 思想实验的细节：首先，为了测量电子的位置，就要照射光到电子上，然后通过显微镜去看电子在哪里。但光学仪器有一个极限分辨力，给精确定位目标施加了限制。由于做定位的精度不可能比得上所用光的波长，所以为了用更短波长的光来提高精度，就要用到非常高频（波长短）的 γ 射线（一种高频辐射）。而由于辐射具有粒子性质，所以为了使电子能够被看到，就必须偏转至少一个光子进入显微镜，且根据普朗克公式：频率越高，光子携带的能量就越大。结果就是：减小光的波长将使电子在与光子碰撞时，电子运动遭受越来越多无法控制的扰动，那么在测量电子的位置之后，就越来越不知道电子的动量是多少。在增加测量精度和降低对动量了解的精度之间，必须存在一个权衡。
5.4 不确定性原理的基础：不可能同时完美地知道电子的位置和动量。即，能知道电子在哪，就无法知道它在做什么；或，能知道电子在做什么，就不知道它在哪。
6. 几率振幅
6.1 作用：在量子理论中计算几率的方法是根据几率振幅来进行的。
6.2 几率振幅的两个方面：
6.2.1 第一个方面：几率振幅是复数。复数是量子理论特有的，因为复数提供了非常易于表示波的相位关系的方法（波的相位与两列波是相互同步还是相互异步有关，详见第一章讨论干涉现象的内容）。
6.2.2 第二个方面：几率振幅的计算涉及态矢量和观测量算符的组合。
注意：为了有意义，几率自身必须是正数。几率是根据几率振幅来计算得到的，所用的方法是一种平方运算（称为“模平方”），对于复振幅来说，该运算结果总是正数。另外，还存在一个标度条件（称为“归一化”），该条件确保当所有几率加在一起时，结果是1。
7. 互补性
7.1 玻尔提出互补性概念的背景：量子理论提供了大量成对可选的思维模式。例如：过程存在两个可选的表象，既可以建立在测量全部位置的基础上，也可以建立在测量全部动量的基础上。又例如：以波动方式和以粒子方式来思考量子对象的二元性。
7.2 互补性概念的内容：这些成对可选的思想方式应该被认为是严格等效的，并且在处理时没有任何矛盾。
7.2.1 原因一：因为每一个思想方式都与另一个思想方式互补，而非相互矛盾。
7.2.2 原因二：因为这些成对可选的思想方式对应于不同且相互不兼容的实验安排，二者不能同时使用。例如：设置一个波动实验（双缝干涉实验），在此情况下询问的是一个波动性问题，会收到一个波动性答案（干涉图样）；而若设置一个粒子实验（探测电子通过的是哪道狭缝），在此情况下询问的是一个粒子性问题，会收到一个粒子性答案（双缝对面对应的探测屏上两个受到大部分电子冲击的区域）。
8. 量子逻辑：又称为“三值逻辑”。不同于建立于逻辑分配律上的经典逻辑，在量子世界，除了“真”和“假”以外，量子逻辑还支持“或然”的答案“可能”。
经典逻辑在形式上依赖于亚里士多德的“排中律”（例如：在“在这里”和“不在这里”之间没有任何中间项）。但在量子世界，一个电子不仅可以“在这里”和“不在这里”，还可以在任意多数量的其他态上，这些态是“在这里”和“不在这里”的叠加。
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