当你开始学习物理学时，你会了解关于像棒球和钟摆甚至行星这样的物体的运动。所有这些都属于经典力学的范畴，我们在经典力学中的基本任务是找出一个粒子随时间变化的位置，或者换句话说，它的轨迹X(t)。然而，大约一百年前，人们发现像原子、质子和电子这样的微小物体的物理性质是非常不同的，它们更多地由量子力学来描述。量子机械粒子的行为几乎与像棒球这样的经典物体完全不同。
例如，我们会在几分钟后发现，像电子这样的粒子在从一个点到另一个点移动时，并不遵循一个明确的轨迹。相反，它由一个波函数Ψ描述，这是一个在空间中分散的函数，告诉我们当我们去测量它时可能找到粒子的位置。我们将在后面的文字中看到波函数这种语言是如何产生的，通过调查一个非常简单的设置，叫做双缝实验。你之前可能听说过，它在物理实验中相当有名。这个主意基本上是将不同的东西扔到一个有两个小孔的墙上，看看从另一边出来什么。我们的发现将取决于我们是投掷经典粒子、经典波还是量子粒子，我们会发现量子情况呈现出经典粒子和波的性质的某种混合，这就是教科书有时给出的花哨名称波粒二象性。
但我们将看到，这个实验的结果是如何引导我们到波函数的观念的，正如我所说，涉及的数学不会太复杂。描述量子粒子的这种抽象函数Ψ是具有挑战性的概念性想法，而再次在经典力学中，我们只需写下其轨迹。你可能想知道是否有一种不同的方法来处理量子力学，仍然以常规的粒子轨迹描述事物，而不是波函数的这种更抽象的语言。事实上，是有的，它被称为量子力学的路径积分公式，是由Richard Feynman发明的，在Schrodinger和朋友们首次制定波函数方法后的几十年。
其中的关键是，与经典力学中的单一轨迹不同，量子粒子在两点之间进行了一种统计平均的每一个可能的轨迹，但关于这个稍后再说。我首先要分享的，是解释费曼看待量子力学的方式，因为它可以为你提供一个非常强大的直觉，用于理解物理学在微观尺度上的工作方式，你可以关注我，以确保你看到这些后续文章。但现在，我们需要从基础开始，揭示当我们研究真正的小东西时，这些与概率和波粒二象性有关的奇怪情况是如何产生的。所以，这里再次是双缝实验的设置，我们采用这个坚固的墙，并在其中切割两个小孔或缝隙，我们将在墙上扔不同的东西，看看从另一边出来什么，信不信由你，这个简单的设置将激发波函数的观念来源。
让我们从经典粒子开始，所以我们将完全忘记量子力学，并假设我们向墙上射击一些像BB枪子弹这样的东西，很多子弹会撞到墙上并反弹，但其中一些会穿过一个孔或另一个孔。我们在障碍物后面放一个挡板来记录它们的落点，这是用黏土或其他材料制成的，因此当弹珠击中它时，它们会被固定下来，这样我们就可以统计有多少弹珠击中了哪里。如果我们只开左边的孔，而右边的孔是封闭的，并且我们记录每一个弹珠击中挡板的位置，我们期望得到一个分布，大部分的弹珠击中左孔后面的区域。同样，如果我们封闭左孔只打开右孔，我们会看到弹珠主要集中在右边。当然，当我们打开两个孔时，总的分布会看起来像这两个单独的分布的总和，因为每个弹珠要么穿过这个孔，要么穿过另一个孔。到目前为止，这里没有什么神秘的，我们只是在讨论这些小弹珠的常规经典运动。但现在，假设我们不是向墙发射BB弹珠，而是发射波。
例如，我们用适当大小的孔在障碍物上照射激光束。在这里我们仍然在经典物理领域内，但这是一个更有趣的问题，因为从两个孔出来的波会相互干扰，并在背景屏幕上产生所谓的干涉或衍射图案。这些波可以是任何类型的波，例如你可以想象水波在池塘表面上的涟漪。另一方面，尝试在3D中形象化事物可能实际上更难，所以我主要坚持使用激光光例子的2D图。如果我们再次封闭右孔，并查看此观察屏幕上出射光的强度，形状将看起来与我们为BB弹珠画的非常相似。同样，如果我们封闭那个孔并打开另一个孔，我们会得到一个类似的图案I2，稍微移动到孔2的后面。与BB弹珠相比，这里有两个关键的不同。首先，明显的不同是，BB弹珠是离散的粒子，它们每个都作为独立的 lump击中挡板。与之相反，激光光在经典意义上是一个波，它是能量和动量的连续分布。第二个关键的不同在于当我们打开两个孔时。如果光表现得像BB弹珠，我们可以将这里的两个曲线简单地加在一起，以找到我们应该得到的总强度，两个孔都打开。如果是这样，背景墙上的图像看起来就像这样，带有一个宽的光带。但你不会看到这样的情况，当你在一对狭缝上照射激光束时，你会看到这样的图像，有许多小的光线条纹，被几乎完全的黑暗间隔开。这就是我们所说的干涉图案。与两个孔打开时的对应强度曲线看起来像这样，有许多交替的峰和谷。
显然，这不仅仅是我们在单独的孔打开时有的强度i1和I2的总和。我们称之为干涉图案，因为它源于从孔中发出的两个波相互干涉。明亮的地方是波浪有益地干涉，这只是意味着它们加在一起形成了一个更大的波。而暗点则出现在干涉是破坏性的地方，两个波相互抵消了。想想看，只有一个孔打开时，屏幕中间的亮度非常足够，例如此点，但是在障碍物上打开第二个孔并放出更多的光之后，这个原本明亮的地方现在变得比只有一个孔打开时还要暗。这真的很令人震惊，我们甚至还没开始讨论量子力学。实际上，我们现在讨论这个是因为我们即将在量子力学中看到一个非常相似的干涉现象，这与量子波函数的概念紧密相关。
所以，在我们深入探讨之前，重要的是要花几分钟时间了解这种干涉图案是如何产生的。为了简化问题，我们假设障碍物中的缝隙非常狭窄。这样，入射的平面波击中障碍物后，就会分解为两个球形波Ψ1和Ψ2。然后，这些球形波继续前进，直到我们在远处的观察屏上截获它们。但关键是，因为障碍物中的孔稍微分开了一些，所以这两个出射波的轮廓会稍微偏离彼此。总波是这两个部分的和。在这两部分有相同符号的地方，它们积极地聚集在一起形成一个更大的波。另一方面，当它们有相反的符号时，波浪相互抵消并破坏。这是我们观察到的明亮和暗淡点的基本起源。但让我们试着用一些方程来更加精确地描述它。
我们可以将入射波写为某个振幅a乘以cosine角度Φ，其中Φ是垂直坐标Y和时间T的函数，由2π/λ乘以y-VT给出。这是沿着y方向以速度V行进的波的标准形式。如果我们在固定的瞬间画出它，λ会告诉我们相继的峰之间的距离有多远，而a则告诉我们它们有多高。对于光，这些将对应于激光的颜色和亮度。当然，光波实际上是由电场和磁场构建的，这些都是矢量。但为了说明干涉图案的起源，考虑这样一个简单的标量波就足够了。实际上，如果你之前学过波，你可能知道用这样的余弦来写东西很快就会变得有点麻烦。用e到i乘以Φ的指数写下一个复杂的波更方便。
这里的思路是我们使用欧拉身份证明，这表明e乘以i乘以某事等于事物的余弦加上i乘以事物的正弦。因此，我们可以将我们原来的余弦波看作是这个复杂波的实部。但这样的指数比余弦更方便，所以这是处理经典波的一个有用的技巧，当我们开始写下量子机械波函数时，它将是必不可少的。与此同时，我们可以用类似的方式写出障碍物另一侧的出射波，但因为这些是球形波，所以它们不仅仅是与垂直坐标y变化，而是与来自每个孔的半径距离变化。所以，如果我们写R1为来自第一个孔的距离，那么Ψ1将与a乘以e乘以iΦ的R1和T成正比。同样，我们将R2写为来自第二个孔的距离，这样，相应的波就是e乘以i乘以Φ的R2。最终的出射波由这两个部分的和给出。
最后，我们实际上要找的是出射波的强度，这告诉我们平均有多少能量击中观察屏。那应该是一个实数，所以我们需要取我们复数波的绝对值。事实上，强度由绝对值的平方给出。关键是当我们插入我们的两个球形波时，我们得到了描述交替的明亮和暗淡条纹的干涉图案的强度曲线。所以我想让你从这一切中得到的主要信息是，我们通过将从每个孔发出的复相位相加，然后取其模量平方，得到了总强度。关于这些经典波在我们切换到量子情况之前还有最后一件事情，我们这里的总和有两个术语，因为我们假设屏障中的每个孔都很小，所以每个孔都会产生一个球形波。
实际上，这些间隙当然会有一定的宽度，这就是我一分钟前给你展示的更复杂的干涉模式的原因。但我们也可以使用与我们在这里完成的策略基本相同的方法来理解宽缝或任何形状的屏障中的干涉。无论你想在墙上打出什么形状，我们都可以从一个完整的屏障开始，并像我们在这里讨论的那样钻出很多小孔，然后每个小孔都是一个向探测器传播的球形波的来源，要理解干涉模式，我们只需要将所有这些单独波的复相位加起来。论点的高明之处在于，最终我们会钻出这么多小孔，以至于屏障的整个区域完全消失，留下了我们想要的形状。这就是所谓的惠更斯原理，当我们谈论费曼的路径积分方法的量子力学时。但好吧，这给了我们一个关于经典波是如何工作的概念，现在是时候看看所有这些如何与量子力学联系起来了，这是事情开始变得有点奇怪的地方。
让我们再做一次这个实验，但这次我们要向屏障射击微小的量子力学粒子，比如电子。只有一个孔打开的时候，情况与我们之前看到的类似，分布看起来是这样的，孔后面有一个大块，此外，我们发现电子在探测器上是独特的能量和动量的凸块。这与BB枪弹珠非常相似，同样地，如果我们关闭那个孔并打开另一个孔，我们会得到一个类似的分布。当我们同时打开两个孔时，事情开始变得奇怪。如果我们以弹珠、棒球或我在这里画的漫画弹跳球为参考，我们会期望每个粒子要么通过一个孔，要么通过另一个孔，所以这两个分布简单地相加，产生一个总曲线，换句话说，当你看到挡板的背面时，你会看到大量的粒子的印迹，从那里平滑地向两边下降。
但当我们用两个孔打开向屏障射击电子时，并不是这样。它们击中挡板的位置看起来是这样的，有许多电子击中的密集条纹，由少数电子击中的空隙分隔开。这是另一个干涉模式，相应的分布是我们之前绘制的那种振荡曲线。这种行为是完全令人困惑的。例如，考虑观察屏的这个区域，只有屏障中的一个孔打开，会有大量的电子通过并击中那里。现在，当我们重新打开第二个孔时，你会认为这只是让更多的电子通过屏障，所以我们会发现至少有同样多的，如果不是更多的粒子击中同一个地方。但不，通过打开第二个孔并让更多的粒子通过，我们发现几乎没有电子击中观察屏的那个地方。
它变成了我们预期的从这两个孔发出的波的干涉图案底部的死区。但是，电子也不是经典的波，因为它们总是在探测器上以离散的个体块的形式出现，而不是像连续的波那样。这与我们对于颗粒状物体应该如何行为的经典直觉完全相悖。
于是我们开始试图提出经典机制来解释发生了什么。例如，你可能会怀疑许多穿过装置的电子是否彼此碰撞，而这些碰撞或许会产生这种复杂的干涉图案。但这种解释并不成立，因为我们可以调低电子枪的功率，这样每次只有一个粒子被射向障碍物。然而，如果我们等待一段时间，并记录所有这些孤立的粒子最终击中探测器的位置，我们会发现它们随着时间的推移，形成了与从两个孔发出的波产生的干涉图案相匹配的条纹分布。显然，每个电子都在同时探测两个孔，并与自身发生干涉。特别是，一个电子没有我们从经典力学中熟悉的明确定义的轨迹。如果它有，那么一个正前往孔1的电子，如果它正朝向其中一个干涉死区，就不应该在乎孔2是否打开。但事实上，当只有一个孔打开时，很多粒子会击中这个地方，而当两个孔都打开时，几乎没有粒子会到达那里。
量子粒子不遵循明确定义的轨迹意味着，即使我们知道关于粒子是如何被射向障碍物的所有信息，我们也无法确切地说粒子最终会在探测器的哪个地方击中。我们只能预测我们找到粒子的概率分布。从双缝实验中，我们了解到了两个关键事物。首先，电子行为就像我们习惯的粒子，因为它们总是在探测器上以离散的单独块的形式击中。但第二，电子也可以像波那样行为，因为它表现出干涉。顺便说一句，如果我们将光的强度调低，我们会发现，看似连续的光波击中我们的探测器实际上是一个称为光子的单个粒子流。如果我们一次只发送一个光子，我们会再次建立相同的干涉图案。
量子粒子可以展现出这两种属性，有时像我们经典地认为的粒子，有时像经典波，这就是波粒二象性这个术语所指的。但事实是，电子既不是经典的粒子，也不是经典的波。它是一个量子粒子，是它自己完全独特的东西。尽管对于与世界互动的规模大得多的我们人类来说，它可能看起来违反直觉，但实际上没有理由期望量子粒子的行为与棒球相同。因此，我们现在已经看到，双缝实验是如何引导我们理解波粒二象性的，尽管这可能感觉很陌生。但既然这就是世界的运作方式，我们作为物理学家如何在数学上描述发生了什么呢？
就像我在开头承诺的那样，与这个实验相关的数学其实非常简单。考虑到干涉图案，我们为射向障碍物的每个粒子引入了一个新的量，称为其波函数Ψ。就像对于经典波一样，在入射波函数击中障碍物后，它会发生衍射，两个球面波从孔的另一侧出现。总的出射波是它们的和。而且，与之前一样，该总波的模方取决于这个干涉曲线的形状。这就是波粒二象性的波面。
但是，我们用探测器实际观察到的始终是背景板上的局部集块，这就是粒子方面的表现。这个干涉曲线在这种情况下告诉我们的不是某个激光的强度或亮度，而是当它击中背景板时，我们会在哪里找到这个粒子的概率。
当我们向障碍物发射了许多量子粒子之后，我们发现它们结束的地方是根据这个概率曲线分布的。通过测量峰之间的分离，我们可以确定我们发送的原始量子波函数的波长λ。它被称为de Broly波长，如果我们发射的粒子带有动量P，它由2π乘以H bar除以P给出，其中H bar是一个叫做普朗克常数的数字，它是量子力学的基本物理常数。
所以总结起来，每个量子粒子都由一个波函数来描述，那个数量的模值的平方告诉我们，当我们去测量它的位置时，我们会在哪里找到这个粒子。这就是波函数制定解释我们在双缝实验的背景板上观察到的粒子分布的方式。不过，像我一开始提到的，还有另一种看待所有这些的方式，它让我们用普通的粒子轨迹来描述事物。但正如我们已经看到的，问题是粒子不再遵循任何单一的轨迹，我们必须考虑通过每个孔的路径，才能理解我们观察到的干涉模式。但是，如果我们通过在障碍物上钻更多的孔来进一步推动这一点，我们得出的结论是，我们实际上需要考虑粒子在跨越这个缺口的过程中可能遵循的每一种可能的路径。这是我们对费曼的路径积分量子力学制定的第一个暗示，顺便说一下，这也是了解所有这些量子奇怪的事情是如何连接回我们在经典世界中每天观察到的事物的最直接的方式。
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