二阶微分方程的平衡点和稳定性

《数学模型》姜启源第五版补充资料

二阶微分方程可用两个一阶微分方程表为

右端不显含 ,是自治方程.代数方程组

的实根 称为方程 的平衡点, 记作 .

如果存在某个邻域, 使方程 的解 从这个邻域内的某个 出发, 满足

则称平衡点 是稳定的 (渐近稳定) ; 否则, 称 是不稳定的 (不渐近稳定).

为了用直接法讨论方程 的平衡点的稳定性, 先看线性常系数方程

系数矩阵记作

. 为研究方程    的惟一平衡点 的稳定性, 假定 的行列式. 的稳定性由 的特征方程

的根 (特征根) 决定. 特征方程改写成更加明晰的形式为：

将特征根记作 , 则

方程 的一般解具有形式 或 为任意常数. 按照稳定性的定义 式可知, 当 为负数或有负实部时, 是稳定平衡点; 而当 有一个为正数或有正实部时, 是不稳 定平衡点.在条件

下 不可能为 0 .

微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型, 完全由特 征根 或相应的 取值决定. 表 1 简明地给出了这些结果, 表中最后一列 指按照定义   式得到的关于稳定性的结论.

由表 1 可以看出, 根据特征方程的系数 的正负很容易判断平衡点的稳 定性,准则如下: 若 则平衡点稳定; 若 则平衡点不稳定.

以上是对线性方程 的平衡点 稳定性的结论. 对于一般的非线性 方程 , 可以用近似线性方法判断其平衡点 的稳定性. 在 点将 和 作 Taylor 展开, 只取一次项, 得 的近似线性方程

系数矩阵记作


特征方程系数为

显然, 点对于方程 的稳定性由表 1 或上述准则 决定, 而且已经证明 了如下结论:

若方程 的特征根不为 0 或实部不为 0 , 则 点对于方程 的稳定性与对于近似方程 的稳定性相同, 即由上述准则决定.

最后, 提出以下几点值得注意:

• 平衡点及其稳定性的概念只是对自治方程而言才有意义.
• 非线性方程 的平衡点的稳定性, 与相应的近似线性方程 的平衡点的稳定性一致, 是在非临界情况下 (即 , 或 ) 得到的, 在临界情况下 (即 或 )二者可以不一致.
• 在讨论平衡点稳定性时, 对初始点的要求是存在一个邻域, 这是局部稳定的定义. 如果要求对任意的初始点, 式成立, 称为全局稳定. 对于线性方程,局部稳定与全局稳定是等价的;对于非线性方程, 二者不同.
• 对于临界情况和非线性方程的全局稳定, 可以用相轨线分析方法讨论.