设D为平面区域，若区域D内任意一个封闭曲线所围的部分均属于区域D，则区域D称为单连通区域，否则就称为复连通区域.通俗地讲，单连通区域是没有“洞”的区域.
对于区域，逆时针方向的圆周是它的正向边界:
对于区域，顺时针方向的圆周是它的正向边界:
而对于区域D={(x,y)|,0<r<R}，逆时针方向的圆周与顺时针方向的圆周共同组成了它的正向边界:
或者更简单的，你可以把逆时针记为内侧的正向边界，而顺时针记为外侧的正向边界。
定理1 设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x，y）、Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有
其中L是D的正向边界曲线.
上面称为格林公式，它告诉我们平面闭区域D上的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L的曲线积分来表达.
格林公式(上面的公式由于显示问题，看下面这个公式即可)：
同时你也可以把格林公式看成第一类曲面积分(如果你只关注最后的dxdy项的话)化为第二类闭曲线积分。
在研究平面力场的问题时，我们要考察场力所做的功是否与路径无关，这在数学上就是要考察曲线积分是否与路径无关.
设函数P（x，y）和Q（x，y）在区域G内具有一阶连续偏导数，如果对于G内以点A为起始点、以点B为终点的任意两条曲线L1、L2（见图7-92），下列等式成立：
，
则称曲线积分在G内与路径无关，否则称与路径有关．
如果曲线积分在区域G内与路径无关，而L的起点为，终点为，那么曲线积分便可以记为．
从以上叙述可以看出，若曲线积分与路径无关，则有 ，
即 ，
或 ，
从而 .
这里为有向闭曲线，由点A、B及的任意性，则得对G内的任一有向封闭曲线，其沿该闭曲线的曲线积分为零.
反之，若对G内的任一封闭曲线有，也可以推得曲线积分在G内与路径无关.
进一步，我们可以得到以下结论.
定理2 设区域G为单连通区域，函数P（x，y）、Q（x，y）在G上具有一阶连续偏导数，则下列三个条件等价.
（1）曲线积分与路径无关，仅与起始点及终点有关;
（2）存在函数u=u（x，y），使du=Pdx+Qdy，即Pdx+Qdy是某个函数的全微分;
（3）在G内恒成立.
格林公式表达出平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达出空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.
定理3 设空间闭区域Ω由分片光滑的曲面Σ围成，函数P(x,y,z),Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则
其中Σ取外侧，cosα、cosβ、cosγ为Σ上点（x，y，z）处的法向量n的方向余弦.
如果Σ取内侧，那么上面整个积分取反。
【人工补丁\oiint长啥样（由于插件无法显示双重闭曲面积分，请谅解）】：
你可以把高斯公式看作第一类三重积分到第二类闭曲面积分的运算。
设给定一向量场(或向量函数),其中函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)具有一阶连续偏导数,则
称为向量场A在点处的散度, 记作.
一般地，就表示A在场中任一点（x，y，z）处的散度.
第二类曲面积分称为那一侧穿过曲面S的通量.
运用高斯公式我们就能写出通量和散度的关系：
其中通量的向量形式是，其中n表示Σ一侧的单位法向量，表示向量A在曲面Σ的外法线上的投影.
对于向量场A，若我们将这里的Σ看作是高斯公式中区域Ω的边界（闭）曲面，且按高斯公式，Σ取外侧，则有
右端表示在单位时间内离开区域Ω的流量．
我们假设流体是稳定流动且不可压缩的，因此在流体离开区域Ω的同时，在Ω内部就应该有流体的“源头”产生出同样多的流体来补充，所以高斯公式的左端可解释为分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流量.
或者你可以记忆高斯公式为第一类三重积分到第二类闭曲面的运算。
定理4 设Γ是分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在包含Σ在内的一个空间闭区域Ω上具有一阶连续偏导数，则 或记为
你可以将斯托斯克公式记为第二类曲面积分到第二类闭曲线积分的运算。此外我们还可以看出格林公式不过是退化了的斯托斯克公式。
斯托斯克公式在这里给出了旋度的概念。
设有向量场 , 其中P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）具有一阶连续偏导数，则向量 就称为向量场的旋度，记作，
即
若Γ是A的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线，τ是Γ在点（x，y，z）处的单位切向量，
则曲线积分 就称为向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量.
斯托斯克公式即矢量场的旋度，积分后为环流量。
一般记忆矢量场的旋度为
.这样的话斯托斯克公式（或者环流量方程）就可以写成(矢量均已加粗)
任何一个行列式运算都可以分成正的部分，以及负的部分，行列式的值就是正负部分的加和。
任何行列式的主对角线连接，并且作乘法后符号总为正。
次对角线连接后相乘，符号为负。
而且与主对角线平行的线上连接的元素做乘法后总为正。
与次对角线平行的元素相乘后，符号总为负。
也就是说（以三阶行列式为例）有如下图所出示的规则
规则:
①主对角线元素及其与之平行的元素，符号为正；次对角线及其与之平行的元素，符号为负。
②作乘法元素的个数与主对角线（或次对角线元素相同）
③行列式的值，就是主对角线元素及其与之平行的元素与次对角线及其与之平行的元素的加和。
你可以自行检验上述规则，它们可以扩展到n阶行列式。
通过上面的研究我们可以得到一个一般性质的推论，这里不检查正确与否：
推论1：任何一个第一类的n重积分，可变为第二类n-1重积分。(或描述为任何一个'体'积分都可以变为它的'边界'坐标积分。)
上面的推论至少在3维空间内是正确的。
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