漫谈泰勒公式

哈喽，我是草稿先生。今天“漫谈”的是泰勒公式。

泰勒公式是什么呢？简单地说，它就是一个计算工具，能够把像e^x, ln (1+x),  sin x这类不易计算的函数近似成多项式：（以按x的幂展开为例）

这样计算起来就方便了。

严谨一点的写法是这样：

其中o(x^n)叫佩亚诺余项，可以简单理解为近似的误差。

近似结果叫泰勒公式，近似的过程叫展开成泰勒公式。

现在草稿先生解释一下自己理解的泰勒公式：

我们用微元法，把函数f(x)全部切成宽为Δx的小段，Δx极小；每一段的函数值相等，比如我们可以让这个值是左端点的函数值：

（类似的，各阶导数值也取左端点的，比如

是f'(x0)，而不是f'(x0+Δx)）

这个函数的表达式很复杂，所以我们想把它近似成多项式。

首先，我们确定一个“基底”x0，f(x0)和f(x0)的各阶导数是要能（轻松）算/表示出来的，以这个基底为起点去近似多项式（用p(x)表示）。所以p(x)=f(x).

p(x)是按(x-x0)的幂展开的多项式，

即

p(x)下面的n是展开的阶数，一会儿解释；o(x^n)是极小量，暂时不用管。

（可以理解为现在x0的地位类似于正常坐标系里的y轴）

下一步，我们确定p(x)中的常数项a0。因为p(x0)=f(x0)=a0，所以a0=f(x0).

接着，我们把次数+1，去考察a1(x-x0)中的系数a1.注意：此时代x=x0没用，因为a1(x0-x0)=0。怎么办？

分析：这一步我们要达到的目标是a1(x-x0)+a0，（直线），其斜率就是a1=f'(x0).

直线的表达式g(x)就是g(x)=f'(x0)(x-x0)+g(x0).显然g(x0)就是第一步求出来的a0，a1=f'(x0).

这时候我们要有一个思想：近似宽度（我自己起的名）。画出这条直线，我们已经精确出了x0和x0+Δx的函数值，但对于x>x0+Δx还没有模拟到，还有误差。

再下一步，我们确定a2，同样是近似，这一次要得到a2(x-x0)^2+a1(x-x0)+a0，由二次函数的求导公式，h(x)=a2(x-x0)^2+a1(x-x0)+a0在x=x0处的导数是2a2(x-x0)+a1，二阶导是2a2=f''(x0)，所以a2=f''(x0)/2.

此时近似宽度为x0~x0+2Δx。

类似的方法，我们可以扩展到三次函数，四次函数……直到n次函数。因为

在x=x0处的n阶导为

所以

n可以无限大，我们的近似宽度也可以无限大；向x0左边也可以做类似的近似，结果类似（此时让函数/导数值为右端点的函数值即可）。

所以我们就得到了函数f(x)按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式：

PS：当n够大的时候o(x^n)就极小，所以也有写法去掉了o(x^n)；

余项的写法有两种：一种是佩亚诺余项，另一种是拉格朗日余项Rn(x)；

当“基底”刚好就是x=0时泰勒公式也叫麦克劳林公式。

实际应用中e^x,ln (1+x)和正余弦函数做泰勒展开的较多。

以e^x为例，很显然这个函数唯一好算的值就是x=0时e^0=1，所以展开成麦克劳林公式：

又因为e^x求导还是本身，所以x=0时函数值和各阶导的值都是1，即

（WPS编辑器自带，不用敲字了哈哈哈）

比如我们把x=0.1代入3阶公式，e^0.1=1+0.1+0.01/2+0.001/6

=1.105017，和计算器算的比一下：

已经很接近了！

ln(1+x)和e^x类似，唯一好算的函数/导数值就是x=0时ln(1+0)=0，对ln(1+x)求一阶导得到1/(1+x)=1（x=0时），二阶导是-1/(1+x)^2=-1，三阶导又变回1……具体过程不写了，直接上结果：

sinx的特点是导数是cosx~-sinx~-cosx~sinx~...一直循环的（cosx也差不多），麦克劳林公式是这样的：

今天的内容就到此为止了，泰勒公式本质上就是用各阶导一步一步逼近函数拟合的多项式，在计算函数值时十分好用。