牛吃草问题

例1：有一块匀速生长的草场，27头牛6周可以吃完，或者23头牛9周可以吃完.若是21头牛，要几周才可以吃完？
A.10    B.11  C.12  D.15

第一种方法、周氏比例法解牛吃草问题：
步骤看起来很多，掌握了，实际上很容易  ：）

第一步：把前二次的牛头数，时间的数字分两列写出来。
27      6
23  9
第二步：每两列数字相减，把结果写出来。4 与3
第三步：二个差相除。4/3
第四步：求X.三点一线，把三数联起来进行运算,图中红线。按A-B*C＝27-9*4/3=15算出结果X。
第五步：求Y.根据基本公式（牛-X）天＝Y，代入其中一排数据，比如第一排(27-15)*6=72
第六步：求结果。把X,Y，代入提问中，求出答案。(21-15)T=72  T=12

老周心语：老周看到有些牛吃草题目，用列方程或公式，计算较繁，所以在今年6月份，为大家发明了这么一个解法，可避开一些计算，更快的算出答案。实质是用比例法的思想解题，老周把这个牛吃草的解法，归在周氏比例法的系统中。此解法，后来被人盗用，并说成是他原创。老周表示，老周的原创解法欢迎大家转载，传播，但希望能尊重原创者，引用时注明出处。


老周精剖牛吃草问题：我们看此题，典型的牛吃草问题。草，是在不断生长的，它有生长的效率；牛，在努力吃草，它有吃草的效率。
牛吃草问题可以理解成为工程问题。牛有吃草的效率，草有生长的效率，而这个草场原有草量，就相当于工程总量。
每天的实际效率＝牛吃草的效率-草生长的效率。
工程总量＝实际效率*时间＝（牛吃草的效率-草生长的效率）* 时间
此题，我们知道牛的数量，但不知道牛的效率，工程总量（即原有草量）不知道，草的生长效率也不知道。题目缺乏条件，因为我们需要设值。假设每头牛每周吃1份草，假设草场每周长生草的效率是X份，设原有总草量是Y份

以上题为例：


第二种方法：公式法。
27头牛吃的总草量＝27*1 * 6＝
23头牛吃的总草量＝23*1*9＝

它们同样吃完一个草场的草，可为什么27*6 不等于 23*9 呢？
原因在于它们吃的时间不同，草在不断生长，前者草只生长了6周，后者，草生长了9周。

27*1 * 6＝ 原有草量 + 草6周生长的量
23*1 *9＝  原有草量 + 草9周生长的量 

所以它们所吃的草量的差距，就等于9-6＝3周草生长的量，那么每一周草生长量＝(23*9 –27*6)/(9-6)
（或从解方程的角度，直接把第二式减第一式，推出草每周生长率的公式）

所以，我们可总结出每周草生长量的公式：
X=(牛1*时间1 - 牛2*时间2) / (时间1-时间2)

（其实求Y，也有公式，这个等下老周在下文的电梯类牛吃草问题中跟大家介绍。）

公式法解题三步：
第一步，根据公式求出X。
第二步，根据牛吃草问题基本公式求出Y.
第三步，把X,Y代入问句，根据牛吃草基本公式，求出所问。
1、X=(23*9–27*6)/(9-6)=15
2、Y=(23-15)*9=72
3、(21-15)T=72  T=12

提醒：在典型牛吃草问题中，吃草时间长的吃的总草量，总是大于吃草时间短的吃的总草量。比如这题 23*9〉27*6。因为吃的时间长，草生长的量也多。

第三种方法：方程法。
根据原工程总量＝实际效率*时间＝（牛吃草的效率-草生长的效率）* 时间
列方程：
(27*1 – X ) * 6 =Y
(23*1 – X ) *9=Y
因为我们设每头牛每天吃1份，27头牛就是27份
即（27-X）* 时间6 ＝ 原有草量Y

这也就是 （牛-X）* 时间＝Y       这个牛吃草问题基本公式的来源。
这个基本公式，需牢记！
牛的头数 与 草每天的生长量，本来是不能直接相减的！
这里因为设牛每天吃一份，所以牛头数的数量才和这些个牛每天的效率的数字相同。

然后，解方程：
X=15   
Y=（27-15）*6＝72          代入其中一式。根据（牛-X）天 基本公式
（21-15）* T=72             代入问句。根据（牛-X）天 基本公式
T=12


例二：有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天。那么它可供几头牛吃20天？
A.10    B.14  C.16    D.18

老周解析：
第一种方法：
12        25
13        10
12/  15 ＝4/5

1.X=12-10*4/5=4
2.Y=(24-4)10=200
3.(N-4)20=200  N=14   选B.

第二种方法：
1.      X=(25*12– 24*10)/)(25-10)=4
2.Y=(24-4)10=200
3.(N-4)20=200  N=14   选B.

第三种列方程的解法，老周就不多说啦。

牛羊混杂型

例三：一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？ 

A.5  B.6  C.7    D.8

老周解析：
像这种牛羊混杂在一起的，先要统一成一种动物，牛或者羊。比如此题，我们统一成牛。80只羊等于20头牛，10头牛，60只羊相当于25头牛。
第一种方法：
16                20
20                12
4  /  8   ＝1/2
X=16-12*1/2=10
Y=(16-10)20=120
(25-10)T=120  T=8  选D.

第二种方法：
X=(16*20-20*12)/(20-12)=10
Y=(16-10)20=120
(25-10)T=120  T=8  选D

排队问题

例四：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

A.9    B.10    C.11      D.12

老周解析：排队问题，也是一类牛吃草问题。检票口相当于牛，队伍原来的长度相当于原有草量，每分钟来的旅客数相当于草的增长量。

第一种方法：
4          30
5          20
1  10   1/10
X=4-20*1/10=2
Y=(4-2)30=60
(7-2)T=60  T=12

第二种方法：
(30*4-20*5)/(30-20)=2
Y=(4-2)30=60
(7-2)T=60  T=12

多块地问题

例五：有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周?
A.6  B.7  C.8    D.9

老周解析：多块地问题，是一类特殊的牛吃草问题，跟其它牛吃草问题不同。就是草的总量是不一样的。此类题目大家记住，这里的牛＝牛头数/面积（牛吃草，牛是踩在草场上，草场在下面。咯样来记忆，别记反了！）。其它跟基本牛吃草问题解法一样。

第一种方法：
24/4    6
36/8    12
1.5      6  1/4
X=6-12*1/4=3
Y=(6-3)6=18
(50/10-3)T=18  T=9 选D。

第二种方法：
(4.5*12 –6*6) /( 12-6 ) =3
Y=(6-3)6=18
(50/10-3)T=18  T=9 选D。

例六：如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50  B.46  C.38  D.35


老周解析：此题由于牛17/28-22/33 不好算，所以用第三种方法。
X=(17/28*84 – 22/33*54)/(84-54)=1/2 
Y=(22/33-1/2)*54=9
(N/40-1/2)24=9  N=35 选D.

行程问题（多人相遇、多人追及、电梯问题）

例七：有快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶路上的一个骑车人。这三辆车分別用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中速车每小时走20千米，那么，慢速车每小时走多少千米？
A.17  B.18    C.19  D.20 

老周分析：前面，老周跟大家说过，牛吃草问题可理解成工程问题。实际上，也可理解成行程问题。甲乙两个人在走路，甲在乙前面，他们相距的距离就是原有草量，在前面的甲就是草场不断生长的草，在后面追的乙就是不断吃草的牛。跟牛吃草问题本质是一样的。

第一种解法：
24          6
20          10
4        /  4=  1
X=24-10*1=14
Y=(24-14)6=60
(N-14)12=60  T=19


第二种解法：
X=(20*10-24*6)/(10-6)=14
Y=(24-14)6=60
(N-14)12=60  T=19

电梯型牛吃草

老周点睛：像此类电梯型的牛吃草问题，往往会要我们求扶梯的长度，也就是求Y，原有草量。在这里，老周再给大家一个公式。遇到此类题，用此公式，直接秒杀！
Y=(牛1-牛2) / (1/T1 -1/T2)

例八：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？（ ）

A. 80 级
B. 100级
C. 120级
D. 150级

老周解析： 公式秒杀：Y=(20-15)(1/5-1/6)=5:1/30 =150  选D。


下面我们用前面的两种解法来试试：

大家注意，在这里电梯是向上走的，人也是向上走，那么这里的“草生长速度”，即电梯增长速度，其实是呈一个负数。
它不是不断生长，而是不断消亡。这就是“草消亡”型的牛吃草问题。如果人往上走，电梯往下走，那么就是正常牛吃草。

第一种解法：
20  5
15  6
5  / 1=5    X=20-6*5=-10  Y=(牛-X)天＝（20-（-10））*5＝150  选D

第二种解法：

（15*6-20*5）/(6-5)＝-10   Y=(牛-X)天＝（20-（-10））*5＝150  选D


老周总结：牛吃草问题中，一般时间长的那个乘积它比较大，要放前面（此题即15*6放前面），如果时间长的那个乘积比较少，算出来结果会是一个负数，那就说明是草消亡型的牛吃草问题。

例九：自动扶梯以匀速自下而上行驶，甲每秒钟向上走1级梯，乙每秒钟向上走2级梯，结果甲30秒钟到达梯顶，乙20秒钟到达梯顶，该扶梯共有多少级？（）

A.40    B.60  C.80  D.100

老周解析： 公式秒杀：Y=(2-1)(1/20-1/30)=1: 1/60 =60  选B.



速算小知识：1/A-1/B=(B-A)/AB  
比如 1/5-1/6=(6-5)/(5*6)=1/30      1/20-1/30=(30-20)/(20*30)=1/60