在初中我们学过三角形三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边。
设三角形三边为a,b,c则
a+b>c,a>c-b
b+c>a,b>a-c
a+c>b,c>b-a
如图，
任意△ABC，求证AB+AC>BC。
证明：在BA的延长线上取AD=AC
则∠D=∠ACD（等边对等角）
∵∠BCD>∠ACD
∴∠BCD>∠D
∴BD>BC（大角对大边）
∵BD=AB+AD=AB+AC
∴AB+AC>BC
①利用三边关系可以判断三条线段能否组成三角形
②已知两边长求第三边的长或取值范围
③证明线段不等关系，化简绝对值、求等腰三角形的边长及周长等．
题型一 判断三条线段能否组成三角形
1．下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( )
A．3 cm，4 cm，8 cm
B．8 cm，7 cm，15 cm
C．5 cm，5 cm，11 cm
D．13 cm，12 cm，20 cm
2．下列长度的三条线段不能组成三角形的是( )
A．5，5，10 B．4，5，6
C．4，4，4 D．3，4，5
3．已知下列四组三条线段的长度比，则能组成三角形的是( )
A．1∶2∶3 B．1∶1∶2
C．1∶3∶4 D．2∶3∶4
题型二 求三角形第三边的长或取值范围
4．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋(b－2)²＝0，则c的值可以为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是( )
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16
C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
6．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是( )
A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm
C．4 cm D．2 cm或6 cm
题型三解决等腰三角形相关问题
7．【中考·宿迁】若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为( )
A．9 B．12
C．7或9 D．9或12
8．【中考·衡阳】已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．11 B．16
C．17 D．16或17
9．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数．
(1)求△ABC的周长；
(2)判断△ABC的形状．
题型四 三角形的三边关系在代数中的应用
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)²＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
题型五 利用三角形的三边关系说明线段的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，试说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
1．D 2.A 3.D
4．A 点拨：∵|a－4|＋(b－2)2＝0，∴a－4＝0，b－2＝0，
∴a＝4，b＝2.则4－2<><><><>
5．D 点拨：设第三边的长为x，则2＜x＜8，所以周长l的取值范围是3＋5＋2＜l＜3＋5＋8，即10＜l＜16.
6．B 7.B 8.D
9．解：(1)因为AB＝5，BC＝2，所以3＜AC＜7.
又因为AC的长为奇数，所以AC＝5.
所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12.
(2)△ABC是等腰三角形．
10．解：因为(b－2)2≥0，|c－3|≥0，且(b－2)2＋|c－3|＝0，
所以(b－2)2＝0，|c－3|＝0，
解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，
即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
所以a＝2，b＝2，c＝3.
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
11．解：如图，将DE向两边延长分别交AB，AC于点M，N，
在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①
在△BDM中，MB＋MD＞BD；②
在△CEN中，CN＋NE＞CE；③
①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
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