在科普作品中，我们经常听到：物体的运动速度不能超过光速，随着速度越来越接近于光速，物体的时间流逝会越来越慢，质量会越来越大。这样的说法背后隐藏着两个公式，一个是时间膨胀公式，一个是质量增加公式。这两个公式怎样以最简明的数学——初中数学知识、最直接的物理内涵推导出来？

时间膨胀公式的推导

设想静止的地面上，有一辆速度为v、直线运动的皮卡车，在卡车上站着一个人，手中握着一个手电筒，方向垂直朝上。相对论的核心思想是，将卡车作为手电光运动的参照物，手电光的速度，与以地面为参照物的手电光的速度是相同的。我们设光在卡车参照系上垂直向上前进一段确定的距离，所耗费的时间是t；设这个事件在地面参照系上看来，耗费的时间是t'。

在卡车参照系上，光向上前进的距离为 ct，地面参照系上，光向上前进的距离为ct'，卡车前进的距离为vt。不同参照系上的距离，我们表示在一张图上，就会发现卡车参照系上光走过的距离ct为图中的斜线，而地面参照系的ct'、vt就是斜线ct在水平、垂直方向上的投影。

这里的物理内涵是，在卡车参照系上，光垂直向上前进了距离ct时，由于卡车自身前进了距离vt，等价于光前进的距离ct在地面参照系上为一条斜线。注意，这里仅指距离ct在地面参照系上相当于一条斜线，并不是说手电光在地面参照系上的运动轨迹为斜向上的，实际上手电光在地面参照系上仍然是垂直向上的。通过向量分解出的水平、垂直距离就分别为ct'、vt。

这表明，卡车参照系上光的垂直向上的运动轨迹以向量分解的形式，生成了地面参照系上光垂直向上的运动轨迹和卡车在t时间里的运动轨迹。此时我们就可以用勾股定理得到下述关系式，并整理得到时间膨胀公式。

这就是说，在卡车参照系上，一个事件经历了时间t，此事件在地面参考系上看来，仅经历了时间t'，表现为时间变慢即时间膨胀。

质量增加公式的推导

设卡车上有一个静止小球，质量在卡车上测量为m。这个小球相对于地面，在以速度v做匀速直线运动。由于小球前进△x的距离，在卡车参考系上看来时间是△t，则地面参照系上，小球前进△x的距离用了△t'的时间，△t'为膨胀后的时间。

小球的动量，在地面参照系上就应该为P=m（△x/△t'）。设β为时间膨胀的比例因子，我们可以将动量写成

P=m（△x/△t'）=m（△x/△t）（△t/△t'）=m（△x/△t）（1/β）=m/β（v），

由于小球在地面参照系上的速度为v，结合动量公式P=MV，就能发现m/β就是地面上测量到的小球的质量，因此我们得到质量增加公式

可见，随着速度的增加，物体的质量会越来越大，速度趋向于光速时，质量趋向于无穷大！

总结

通过全文简明的推导，我们领略到了爱因斯坦天才的思维方式。继续通过质量增加公式，还可简明导出质能方程，有兴趣的朋友可以去作者主页阅读那篇文章。

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