译者按：作者系2010年度菲尔兹奖获得者，里昂大学数学教授与彭加莱研究所所长。文章来自他的个人主页（http://cedricvillani.org/plant-your-math-and-let-it-grow/），介绍了他与合作者研究最优输运问题、刻画里奇曲率的工作的历程，最后还由此总结了一些有启发的研究体会。
几天之前，我在东北大学做高木讲座[1]。我为此写了一篇综述文章《里奇曲率的综合理论》（http://cedricvillani.org/wp-content/uploads/2015/07/takagi-2.pdf）。里奇曲率理论是一个在过去多年间蓬勃发展的研究主题。
什么是综合理论呢？我们在中学学习过，有多种方法做平面上的初等几何。平面几何可以用方程与笛卡尔坐标来做（直线由方程ax+by+c=0来描述，圆由ax^2+by^2+cx+dy+e=0这样的方程来描述，等等）。但平面几何也可以用古希腊的方式来做：使用公理以及三角形、直线等的性质，但不写下任何方程。第一种方法是解析法（可以计算，并使用方程），第二种方法是综合法（使用概念与性质）。两种方法各有千秋，分别有其优点与缺点。一般来说，解析法更加系统，而综合法更加漂亮。用解析法常常能得到更多定量结果，而综合法可以提供更好的理解。认识到平面几何可以有两种等价的方法来处理，是高中生的数学教育上的一个重大的概念进步。
什么是里奇曲率呢？显然，它是一个有关曲率的概念，也显然是由以一位叫里奇的人的名字命名的。确实，格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（Gregorio Ricci-Curbastro）是20世纪初意大利几位重要的几何学家之一，以他的名字命名的曲率是几个最重要的曲率概念之一。曲率是自高斯与黎曼以来都使用的用来定量刻画一种几何与欧几里得几何差别多大的概念。里奇曲率反映非欧几何中体积的扭曲。它也以在爱因斯坦的的广义相对论中起作用而最为知名。粗略地说，若你生活在一种里奇曲率为正的几何中，则由于光线偏移（因为光线弯曲而非直射），你所见到的明物总是比真实的要大（指更大的体积）。
格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗（1853 – 1925）
里奇曲率是在非欧几何上做研究的概率学者的最爱，在20世纪里，它主要被用分析的方法——使用方程——来处理。但从90年代以来，专家开始考虑如何用综合方法来理解里奇曲率不等式。同时，与此相应的是，截面曲率的综合处理取得了很多成功。在解决这问题的过程中，有一些美丽的偶遇，以及多年的共同努力。
大约15年前，在这个理论开始之初我就参与其中。当时只有几篇文章。现在这个领域已有许许多多的文章，成千上万的页面。然而，写下它是如何开始的，仍然非常有意思。
回到1998年，我刚好博士答辩完，我去参加一个由我的导师（tutor）Yann Brenier组织的一个关于最优输运的研讨会。这是一个关于将一定量的物质从某个初始位置重组织到另一个位置的理论。研讨会的参与者来自不同方向：统计物理、等周理论、流体力学；但他们都由最优输运这一共同兴趣而来到一起。
加斯帕·蒙日（1746－1818）
蒙日的“挖”与“填”（图片来自维拉尼的书《最优输运：旧识与新知》第一版第42页）
最优输运问题最早由蒙日（Gaspard Monge）在他1781年的一篇著名文章中提及，这篇文章讨论关于“挖(déblais)” 与 “填（remblais）”——寻求最优的方式来输运与重组织给定分布的一定量的物质。蒙日是画法几何与巴黎综合理工学院之父，拿破仑之友，远见卓识的几何分析专家。关于蒙日的更多信息，读者可以参考Étienne Ghys 的美文（http://images.math.cnrs.fr/Gaspard-Monge.html）以及有关最优输运的诞生的文章(http://images.math.cnrs.fr/Gaspard-Monge,1094.html)。值得一提的是，运筹学专家说，这也是运筹学中在某种意义上被解决了的最古老的问题。
由于蒙日问题的数学性质，可以考虑任何类型物质的输运。在我深爱的书《最优输运：旧识与新知》（Optimal Transport,old and new）中，作为对我曾经最爱的蒙日面包店（Boulanger de Monge）的敬意(哎，现在不是从前那样了！)，我采用了羊角面包。问题如下：假设你有一些散布在巴黎的面包店，每天生产羊角面包，同时又有一些咖啡店，同样散布在各处，每天提供给消费者新鲜羊角面包。面包店的生产量和咖啡店的销售量都是已知的。每次一篮羊角面包从某面包店运到一个咖啡店，根据不同的地理位置，有不同的输运费用。怎样分布面包店和咖啡店以使总运费尽可能最小呢？
《最优输运：旧识与新知》封面
这个问题也引发涉及经济利益的问题：例如，假设面包店向咖啡店的收费依赖于运费，则最好的定价方式是什么？俄罗斯数学家和经济学家列昂尼德·康托洛维奇（LeonidKantorovich）, 难以分类的小说《红色财富》[2]中英雄人物之一，按照这个角度研究了蒙日最小化问题。他实际上梦想设计一种理性价格理论——在他所工作的时代和地方，这几乎相当于向古拉格(前苏联劳改集中营)或处决表中预约地方。然而，由于康托洛维奇在关键的政府计划中的用处而得以幸存，并在1975年获得诺贝尔经济学奖。
现在，最优问题被称为蒙日-康托洛维奇问题, 许多人都很熟悉它。被运送的东西可能是物质，气体分子或其他东西。在1998年的研讨会上，我报告了Hiroshi Tanaka的工作，其中讨论的被运送的物质是稀薄气体(模型)。Tanaka在70年代证明，如果给定两种气体分布，两者按照某物理模型（确切地说，马克斯韦尔分子的空间齐次玻尔兹曼方程）演化，则随着时间的推移，一种分子分布输运到另一种分子分布的总费用总是下降的。我把这个贡献也写入了我的第一本关于最优输运的的书的7.5节中（http://cedricvillani.org/for-mathematicians/surveys-books#tot），也在我关于碰撞动力学理论的综述的4.2节中（http://cedricvillani.org/for-mathematicians/surveys-books#collisional）。
玻尔兹曼
在这次研讨会的参与者中，有一位来自的德国的年轻数学家，Felix Otto。那时他在申请美国加州大学圣巴巴拉分校的职位；后来他取得了波恩和莱比锡的位置。他已经与Richard Jordan 和 David Kinderlehrer做了非常原创性的工作：基于玻尔兹曼熵和最优输运的热方程的性质，给出了热方程的新解释。现在他在考虑进一步将此推广到扩散型非线性方程。就如好的博士生应该的那样，我仔细地听着，当天晚上我还和Felix好好地讨论了一番。
Felix Otto (1966-)
几周之后，夏天，我在家中读Michael Ledoux的讲义。那时，Michael Ledoux正在写他的有关集中性理论的书。Eric Carlen，我的博士论文答辩委员会成员之一，曾建议我去找图卢兹的Michael。我对第一次在宽广的图卢兹大学找路的艰难时刻仍然记忆犹新。Michael很有兴致地想听我有关玻尔兹曼方程的工作，还给我了这些讲义，以满足我对他的工作的好奇。
Michael Ledoux（1958-）
我在阅读Michel的讲义过程中，很惊讶于他的叙述的漂亮与优美，一些东西吸引了我的注意：一些我熟悉的关键词和关键概念出现了，最优输运也在这里再次出现了。冥冥中我觉得这应该和Felix的工作有些关系。只做了两次尝试，几分钟的时间，我就找到了其中的联系。这是不多的可以改变一位研究者的命运的宝贵的突发灵感……
我写下一个纲要，将第一个结论发给Michel，Michel给了热烈的响应。我决定和Felix就此合作一篇文章。对我而言，这个合作是极其宝贵的，因为作为刚出道的数学家，我的严格标准和写作技巧都有待完善，而与Felix的合作是发展这些技巧的良好机会。我们只花了几个星期就完成了我们的文章。（不过，另一项几乎同时开始的合作，却花了近10年的功夫，而且外加了两位合作者来完成。）
在我们的论文中，我们得到了如下几个结果（让我们用几个大名词）：
证明对数索伯列夫不等式总能导出一个Talagrand不等式，因而为Herbst-Ledoux 原理提供了泛函基础。由Herbst-Ledoux 原理，对数索伯列夫不等式能导出高斯集中界；
得出概率测度满足Talagrand不等式的简单充分条件；
基于最优输运，对几个本领域中的已知定理提出新的证明；
找到一个新的信息论插值不等式，由此可知，相对熵由部分玻尔兹曼熵和部分最优输运控制；
发展Otto的形式，解释如何将概率测度空间解释为非欧几何；
将McCann的“位移凸性（displacement convexity）”和里奇曲率联系起来，其中的想法是，仅当里奇曲率为负时，玻尔兹曼相对熵函数的凸性为沿着最优输运的测地线凸。这被当做一个猜想来叙述：我们给出了一些理由来支持这个想法，但缺乏一些关键的东西来完成证明。
当时我并未意识到，这是一个付出甚少的巨大丰收。论文投稿到《泛函分析杂志》，第二天就被Paul Malliavin接受。Malliavin显然比我们还更加感觉到我们的工作的重要性。事实上，这篇文章也成为我被引用得最多的论文。在某种意义上，这也是将导致对里奇曲率的新观点，以及里奇曲率界的综合方法的一整套理论的起点。
故事在继续，有许多惊喜和合作；来自法国、加拿大、德国、意大利、日本、美国、俄罗斯、中国的研究人员都投身其中。另一件对我而言是决定性的事件是2004年与John Lott在伯克利的相遇。就如Karl-Theo Sturm在波恩所做的一样，我们很明确地要研究里奇曲率的综合理论。我们所定义的几何，现在常常被称为LSV空间（LSV = Lott-Sturm-Villani）。看着你的名字变为定义，总是令人有所触动的！这个故事也是我写作我的《最优输运：旧识与新知》的契机，这本书使我获得了美国数学会颁发的杜布奖（http://www.ams.org/profession/prizes-awards/ams-prizes/doob-prize）[3]。
我不打算过多叙述进一步的发展，系统介绍可以参考我讲座的讲义《里奇曲率的综合理论》。不过，让我们回到前面的故事，抽取一些结论和建议，这或许对一些人有益。
第一: 你在研究中付出的努力并不总是最重要的；有的时候重要的只是在正确的地方有了正确的想法，与正确的人有联系（正如价格并不总是由生产过程中投入的劳动量来决定，尽管苏联政府会如此告诉康托洛维奇）。
第二: 对事物，即使不与你的领域直接相关的东西，保持好奇总是（或几乎总是）有益的。Felix的报告，Michael的课程，都不属于我的博士论文主题——气体的动力学理论。但我还是很感兴趣。
第三：一个大的进展不总是新的定理或结论。它可能是一个新的证明，或者一个新的看法。作为数学家，我们的工作不只是证明东西，更一般地，它提供更好的理解，这也可能依赖于新的观点。
第四：研究，特别是基础研究，是不可预测的：没有人能够预测到这种非欧几何、最优输运与熵的相遇（我也没有预料到！）。但现在，这是一个很有成果的领域，也解决了该领域中的几个大问题。
最后一个评论是关于研究的性质。无疑，研究系统关心发表、基金、职位、科学管理机构、研究策略、实验室网以及亿万计的美元、欧元、人民币等。但最终，关键的时刻是，某处、某头脑中、某个火花的点燃。整个复杂的研究生态系统的一个有意义的目的是，增加这种珍贵的、脆弱的、难以预测的种子急切地成长为完整发展的理论的机会。
[1]高木讲座（Takagi lectures）是日本以高木贞治（Teiji Takagi，1875--1960）之名命名的讲座，也是日本第一个以人名命名的讲座。高木贞治被誉为日本现代数学第一人。高木讲座自2006年开始，历届演讲可以参考讲座主页http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~toshi/jjm/JJM_HP/contents/jjm-takagi.htm。维拉尼是6月27-28日在东北大学（Tohoku University）举行的第15届高木讲座的三位演讲人之一。
[2]Red Plenty，http://www.redplenty.com/Front_page.html，2012年弗朗西斯·斯布福特(Francis Spufford) 著。
[3]维拉尼获得2014年度杜布奖。这个奖是哈尔莫斯（Paul Halmos，1916-2006）及其夫人（Verginia Halmos）于2005年捐赠的，后为纪念杜布（Joseph L. Doob）而改为杜布奖。哈尔莫斯是杜布的第一位博士生。杜布于1932年从哈佛大学获得博士学位，三年后加入伊利诺伊斯大学直至于1978年退休。他的研究领域是概率论，曾在1963-64年任美国数学会主席，1984年 “因其在使概率论成为数学的一个分支中的基础工作”而获美国数学会Steele奖。
作者 ∣ 塞德里克·维拉尼
译者 ∣欧阳顺湘
来源 | 可乐数学
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