不可区分性
全同粒子是指静止质量\mu、电荷Q、自旋S等固有性质，或称为内禀性质完全相同的微观粒子。例如，所有的电子式全同粒子，所有的质子也是全同粒子。
考虑由两个全同粒子构成的体系，设这两个全同粒子都在外场中运动，它们之间还可能存在相互作用。在时间t为0的时刻，可以给这两个粒子编号为第一个粒子和第二个粒子。
在经典力学中可以认为，根据它们的运动轨道，在任意t时刻仍然可以区分哪一个是第一个粒子、哪一个是第二个粒子，即两个全同粒子仍是可区分的
在量子力学中，体系的状态使用波函数\Phi来描写的，其中q_1包含第一个粒子的位置坐标r_1和自旋坐标s_{1z}，q_2包含第二个粒子的位置坐标r_2和自旋坐标s_{2z}，在量子力学中的全同粒子并不一定是可以区分的。
设两个全同粒子分别置于两个绝热盒A和B中，两盒之间的隔板是不可穿透的绝热板。设A中的粒子能量较高，而B中的粒子能量较低，两个全同粒子的波函数无重叠。
显然，在A中发现的粒子总是能量较高的第一个粒子，在B中发现的粒子总是能量较低的第二个粒子，这说明当两个全同粒子的波函数无重叠时，这两个全同粒子仍是可以区分的。
由此可推知，当两个全同粒子不可区分时，它们的波函数必有重叠。
如果人为地将两个全同粒子交换，则A中的粒子将变为能量较低的粒子，而B中的粒子将变为能量较高的粒子。如果只交换两个全同粒子的坐标，则波函数中q_1和q_2的位置交换。
由于上述两个粒子被封闭在不同的绝热盒中，所以这种交换相当于第一个粒子仍在A中而坐标处在B中，以及第二个粒子仍在B中而坐标处在A中的情况实际上这种交换是不可能进行的，这种交换能够进行的必要条件是两个全同粒子的波函数存在重叠。
为了使这种交换能够进行，可以将隔板抽出。当隔板抽去后，这种交换实际上是两个全同粒子自动进行的交换，这使得两个波包很快融合在一起而过渡到平衡状态。这时，两个全同粒子处在高能态的概率相同，处在低能态的概率也相同，实际上各种概率都相同，从而使得两个全同粒子不可区分。
可见，全同粒子之所以不可区分，是由于各全同粒子的波函数存在重叠时，全同粒子之间进行自动交换的结果。
设有两个相距很远的束缚态氢原子A与B，其中两个电子的波函数无重叠，所以这两个电子仍可区分。
在氦原子中也有两个电子，由于这两个电子的波函数存在重叠，所以是不可区分的。
交换对称性与全同性原理
在由N个全同粒子构成的体系中，设算符E_{ij}表示将第i个粒子与第j个粒子进行人为交换的算符，设算符P_{ij}表示将第i个粒子的坐标q_i与第j个粒子的坐标q_j进行自动交换的算符。由于全同粒子的固有性质完全相同，所以算符P_{ij}也可视为将第i个粒子与第j个粒子进行自动交换的算符。
算符E_{ij}与算符P_{ij}的区别为：无论第i个粒子与第j个粒子的波函数是否存在重叠，算符E_{ij}总是存在的。而算符P_{ij}只在第i个粒子与第j个粒子的波函数重叠时才存在。
下面主要考虑算符P_{ij}。设N个全同粒子体系的哈密顿算符为：
其中，算符H_i表示第i个粒子的动能算符与在外场中的势能算符之和，W_{ij}表示第i个粒子与第j个粒子之间的相互作用能。因为
所以在上式右边第二项中应含因子二分之一。
算符H具有下述交换对称性
即
由“力学量平均值”一节
可以得知：如果算符F和算符H可以对易，且算符F不显含t，则F的平均值对时间的导数为0，即F的平均值为运动恒量。
因为算符P_{ij}只有在第i个粒子与第j个粒子的波函数存在重叠时才存在，所以当算符P_{ij}只在一段时间内存在，或者时而存在时而不存在时，算符P_{ij}应视为与时间t有关的算符。
因为自动交换是否存在，对算符E_{ij}的作用结果有影响，所以这时算符E_{ij}也应视为与时间t有关的算符。
如果只考虑算符P_{ij}存在时的一段时间，则根据对易式，可以认为在这段时间内，算符P_{ij}的平均值是运动恒量。
体系的波函数\Phi应满足的薛定谔方程为：
将算符E_{ij}与算符P_{ij}作用于上式得
如果第i个粒子与第j个粒子得波函数无重叠，则上式中只存在第一式。将此式与薛定谔方程比较可知，若\Phi式薛定谔方程的解，则作用了算符E_{ij}之后，也是薛定谔方程的解。此时，虽然它们可能是相同的解，但也可能是彼此独立的解。
如果第i个粒子与第j个粒子的波函数存在重叠，则两式中第一式是在全同粒子自动交换的基础上进行的人为交换，这种交换应与第二式的效果相同，所以只需考虑第二式即可。这时，波函数\Phi与作用算符P_{ij}后的波函数\Phi应该是相同性质的解，从而引出全同性原理。
全同性原理可以表述为：当两个或多个全同粒子的波函数存在重叠时，交换其中的全同粒子不引起物理状态的改变。全同性原理是量子力学的基本假设之一。
应注意，如果第i个粒子与第j个粒子的波函数只在一段时间内重叠，则算符P_{ij}只在这段时间内存在，这两个粒子之间的全同性原理也只在这段时间内起作用。
根据全同性原理，波函数\Phi与作用算符P_{ij}后的波函数\Phi应该描写体系的同一个状态，所以只能相差一个常数因子，以\lambda表示这个常数因子得到：
根据
可以得到
则上式化为
上两式表示全同粒子波函数在算符P_{ij}存在时的交换对称性。满足作用算符P_{ij}后不变的\Phi称为对称波函数，满足作用算符P_{ij}后变号的\Phi称为反对称波函数。
如果在一个包含有非全同粒子与全同粒子的体系中，只有其中一部分全同粒子的波函数存在重叠，则对于这一部分粒子而言，上述讨论同样适用。
费米子与玻色子
实验表明，自旋为半奇数的全同粒子组成的体系，在全同粒子的自动交换中，体系的波函数是反对称的。这类粒子服从费米狄拉克（Fermi-Dirac）统计，因而被称为费米子（fermion）。
自旋为0或正整数的全同粒子组成的体系，在全同粒子的自动交换中，体系的波函数是反对称的。这类粒子服从玻色爱因斯坦（Bose-Einstein）统计，因而被称为费米子。
如果一个粒子由多个费米子与多个玻色子构成，则当这个粒子中包含奇数个费米子时，这个粒子便是费米子。当这个粒子中包含偶数个费米子时，这个粒子便是玻色子。这个结论很容易从角动量的耦合性质，或体系的波函数在全同粒子的自动交换对称性中得到。
例如，一个氢原子，从角动量耦合性质可知，氢原子中的电子和质子的自旋都是二分之一，它们的耦合只能为0或1，而相对轨道角动量的角量子数l只能为0或正整数，进一步耦合得到的氢原子的总自旋也只能为0或正整数，所以氢原子是玻色子。
如果考虑两个内部状态相同的全同氢原子之间进行的自动交换，则这种交换相当于交换了一对全同电子和一对全同质子，因为电子和质子都是费米子，所以交换后体系的波函数相当于交换前体系的波函数改变符号两次，因而体系的波函数不变，由此同样可得知氢原子是玻色子。
多个内部状态相同的氢原子体系是全同玻色子体系。
后面的各节只涉及交换算符P_{ij}，而不涉及算符E_{ij}。凡用到算符P_{ij}时，均认为算符P_{ij}时存在的，算符P_{ij}只是全同粒子之间的自动交换算符。
薛定谔方程在不考虑波函数对称性时的解
考虑定态问题，设体系由N个全同粒子组成，粒子之间都可以自动交换，哈密顿算符为H，则定态薛定谔方程为：
对于全同玻色子体系，要求\Phi是对称的。对于全同费米子体系，要求\Phi是反对称的。求解上式时，通常先不考虑对\Phi的对称性要求，求出\Phi后再利用\Phi构成满足对称性要求的波函数。
当粒子间无相互作用时，算符H可以表示为
利用分离变量法可以将这个方程化为N个单粒子方程。
其中下标i从1到N。由上式可以求出单粒子的能级\epsilon_{k_i}和对应的本征函数\phi_{k_i}。如果能级\epsilon_{k_i}有简并，则可将\phi_{k_i}中的下标k_i视为两个数的集合，其中一个为表示能级的量子数，另一个为表示简并的序数。
当考虑束缚态时，\epsilon_{k_i}为分立谱，\phi_{k_i}的正交归一条件为
上式的积分表示对位置坐标积分和对自旋坐标求和。设\phi_{k_i}表示第i个粒子处在第k_i个单粒子的本征态上，则不考虑波函数的对称性要求时，体系的波函数为
体系处在\Psi态时的总能量为
如果将第i个粒子与第j个粒子交换，则由上式可知，总能量E保持不变，记为
当算符P_{ij}作用于体系波函数的表达式时，下标k_i与k_j发生交换。如果两个下标相等，则交换后波函数不变。如果两个下标不相等，则交换后波函数改变。
将各种算符P作用于薛定谔方程可知，作用的结果都是对应于同一本征能量E的本征函数，可见，能级是简并的。
除了单粒子方程可能出现的简并外，由于全同粒子的交换而产生的简并称为交换简并。交换简并只有在不考虑全同粒子波函数的对称性要求时才出现。通过两个和多个全同粒子的各种交换得到的独立波函数的个数f，即为交换简并度。
显然，处在相同状态的全同粒子的交换，不可能得到不同的波函数。若以置换算符P表示处于不同状态的全同粒子之间进行的某种交换，例如两个粒子的交换或多个粒子的交换，并认为各置换算符P的集合也包含不作交换的情况在内，即包含单位算符，则波函数P\Psi的个数就是交换简并度f。
设有n_\nu个粒子处在\phi_{k_i}态，总和为N，则根据排列组合的知识可知，交换简并度f为
当各全同粒子所处的状态完全不同时，交换简并度f就是n的阶乘。当各全同粒子所处的状态完全相同时，交换简并度f为1，这时无交换简并。
根据各个单粒子方程的正交归一条件可以得到：
其中dq为对全体N个粒子求积分。
泡利不相容原理
当\Psi确定后，由各种置换得到的P\Psi的任意线性组合，都是薛定谔方程的解。
由各个P\Psi的某种线性组合可以构成描写全同玻色子体系的对称波函数\Psi_S为：
其中\Psi为体系波函数表达式。由交换简并度f可知，上式的求和中总共有f项，所以归一化系数为f的倒数开根号。根据正交归一条件，可以证得\Psi_S是归一化的。
当用算符P_{ij}作用于上式时，对P\Psi作用后的各项之和与作用前P\Psi的各项之和是相同的，只是求和中各项的次序可能有所变化，所以由上式得到的\Psi_S是对称波函数。
由各P\Psi的某种线性组合可以构成描写全同费米子体系的反对称波函数\Psi_A为
上式中行列式展开后的每一项都是某种P\Psi的形式。当算符P_{ij}作用于上式时，在行列式中相当于两列互换，这使行列式改变符号，所以由上式得到的\Psi_A是反对称波函数。
设置换P中相当于进行了n_P次两个粒子的交换，则上式可以改写为
如果N个全同费米子所处的状态\phi_{k_1}到\phi_{k_N}中，有两个态相同，则在上式中的行列式中，有两行相同，因此行列式等于0。可见，不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理，简称泡利原理。
泡利不相容原理只在能进行自动交换的全同费米子中起作用。当N个全同费米子之间能进行自动交换时，由于各费米子所处的状态不同，则由交换简并度f以及行列式可知，\Psi_A的求和中总共有N的阶乘项，所以归一化系数为N的阶乘的倒数开根号。根据归一化条件，可证\Psi_A是归一化的。
粒子间的相互作用不能忽略的情况
当N个全同粒子体系的粒子之间存在相互作用时，体系的总能量E通常不能表示为各单粒子能量之和的形式，但仍可证明交换简并依然存在。
设薛定谔方程对应本征能量E的解为\Psi，以算符P_{ij}作用于方程得到
则
将上式中的积分变量q_i和q_j互换后，其积分值应当不变。而当q_i和q_j互换后，算符H保持不变，波函数\Psi经过算符P_{ij}作用，再变量互换后变为波函数\Psi。于是得到
所以在波函数\Psi前作用任意的算符P_{ij}，结果都是对应于同一本征能量E的本征函数，这就证明了交换简并仍旧存在。
当不考虑全同粒子体系波函数的对称性质时，由薛定谔方程可以求出本征函数组\Psi，然后根据全同玻色子体系的对称波函数表达式可以构成对称函数组\Psi_S，根据全同费米子体系的反对称波函数表达式可以构成反对称函数组\Psi_A。此外，若N大于2，则还可以利用\Psi构成各种混合对称函数组。
对称函数组\Psi_S对于N个全同玻色子体系构成完备基组，反对称函数组\Psi_A对于N个全同费米子体系构成完备基组。但应注意，当N大于2时，本征函数组\Psi并不能对对称函数组\Psi_S与反对称函数组\Psi_A展开，这说明此时，将\Psi_S与\Psi_A合在一起，对于\Psi而言也不是完备基组。
两个全同粒子组成的体系
当不考虑波函数的对称性质时，设\Psi时定态薛定谔方程的解，则
其中\Psi_S是前一项经过归一化后得到的对称波函数，\Psi_A是后一项经过归一化后得到的反对称波函数。用算符P_{12}作用于上式得
以上两式表明，对于两个全同粒子组成的体系，将\Psi_S与\Psi_A合在一起对于\Psi与算符P_{12}作用后的\Psi而言构成完备基组。由以上两式可得
如果\Psi是对称的，则由上式只能得到\Psi_S。如果\Psi是反对称的，则由上式只能得到\Psi_A。如果等式右端两个函数相互独立，则由上式可以得到\Psi_S与\Psi_A。
如果不考虑自旋轨道耦合，则哈密顿算符可以写为两部分之和，其中一部分只与位置有关，另一部分只与自旋有关，自旋这部分也可以为0，则由求解薛定谔方程的分离变量法可知，波函数可以表示为
对称波函数\Psi_S与反对称波函数\Psi_A可用下述方法构成
上式中的\Psi_S对于两个全同玻色子体系构成完备基组。
上式中的\Psi_A对于两个全同费米子体系构成完备基组。
对于N大于2的多个全同粒子，如果不考虑自旋轨道耦合，则同样有
但完备的\Psi_S与完备的\Psi_A不能根据两个粒子完备基组的表达式构成，而应根据全同玻色子或费米子体系的波函数表达式得到。
两个电子的对称自旋波函数和反对称自旋波函数
考虑由两个电子和外场构成的体系，如氦原子、氢分子，设哈密顿算符H近似地与自旋无关，则体系的波函数可以写为一个与位置有关的部分和一个与自旋有关的部分之积，这个与自旋有关的部分就是自旋波函数x。因为算符H与自旋无关，所以没有相应的方程限制两个电子的自旋状态，只有全同性原理对两个电子的自旋状态有影响。
当不考虑自旋波函数的对称性质时，可以取自旋波函数x为：
等式的右端是算符s_{1z}和算符s_{2z}的共同本征函数。因为
所以等式右端就是无耦合表象中，算符s_1平方、算符s_{1z}、算符s_2平方、算符s_{2z}的共同本征函数。
由两个全同费米子构成的完备基组可知，两个电子的自旋波函数，在不考虑自旋轨道耦合时，应该是对称的或者反对称的，利用上述等式右端的表达式可以构成两个电子的对称自旋波函数x_S和反对称自旋波函数x_A为
可以验证，上述四个等式左端均为
两个算符的共同本征函数，也就是耦合表象中算符s_1平方、算符s_2平方、算符s平方、算符s_z的共同本征函数。因为
所以s的值为0与1。
在x_S，上标分别为1、2、3的态中，s为1，则
此时
相应值分别为1、-1、0。
在x_A态中，s为0，m_s也为0。所以应当有
上式中三个x_S称为两个全同电子的自旋三重态，而x_A称为两个全同电子的自旋单态。
这些等式的一个验证如下，令：
就有：
算符s_1只作用在第一个电子的自旋波函数上，而算符s_2只作用在第二个电子的自旋波函数上。利用“自旋与角动量”一节中升降算符的相关公式，可以求出算符s平方与算符s_z在三个x_S和一个x_A，总共四个态中的本征值。
因为
则得
同理可以验证上述等式中的其余各式。
三个x_S和一个x_A，总共四个等式，是算符s平方与算符s_z的共同本征函数对算符s_{1z}与算符s_{2z}的共同本征函数的展开式。根据此四式可以求得算符s_{1z}与算符s_{2z}的共同本征函数对算符s平方与算符s_z的共同本征函数的展开式为：
上式中，前两式的左边可以称为两个电子的自旋平行态，后两式的左边可以称为两个电子的自旋反平行态。应注意将自旋单态与自旋反平行态严格区分开来。
在算符s_{1z}的本征态中，测量s_{1z}有确定值，但是测量s_{1x}与s_{1y}都没有确定值。为了形象地表示这种性质，可以用一个沿圆锥面旋转的矢量表示s_{1z}与s_{2z}，圆锥面的对称轴为z轴，这个矢量在z轴上的投影为确定值，而在x、y轴上的投影值不确定。
自旋的直乘积表象
矩阵的直乘积
定义为矩阵A的各矩阵元都乘以矩阵B。矩阵的直乘积不可交换。
这里“矩阵的直积”的概念可以简单的理解为，直积符号前面的矩阵是分块矩阵，然后把后面的矩阵按位置填进去。
关于
的直乘积表象中，三个x_S和一个x_A的矩阵表示为
因为
于是在直乘积表象中，算符s平方与算符s_z的矩阵表示为
得到
容易验证，三个x_S和一个x_A是s平方与s_z的共同本征函数。
通过矩阵的直乘积表示，把两个自旋空间的运算统一在一起，这是采用直乘积表示的优点。
两个电子在对撞中自旋波函数的变化
设两个电子在对撞中的哈密顿算符与自旋无关，其质心为坐标系原点，即在质心坐标系中讨论两个电子的对撞，两个电子在对撞前后都可视为自由粒子。
如果认为自由粒子的波包为无限大，则全同性原理始终起作用，这时两个电子的自旋波函数便只能处在自旋三重态或自旋单态。
当讨论两个电子的弹性散射时，通常都是在认为全同性原理始终起作用的基础上进行讨论的。
事实上，两个自由电子的波包应为有限大，当两个电子的波包无重叠时，全同性原理应该不起作用，这时两个电子都应具有单独的自旋波函数，和单独的位置波函数。
在碰撞前，当两个波包无重叠时，设第一个电子的自旋波函数为u_1，第二个电子的自旋波函数为u_2，如果自旋取向未被控制，则u_1与u_2的自旋取向都是任意的。
在碰撞过程中，两个波包存在重叠，出现在坐标系原点的邻域内，则两个电子的自旋波函数应为x_S或x_A。
在碰撞后，当两个波包过渡到无重叠状态时，全同性原理应失去作用。这时，将两个电子重新编号，设第一个电子的自旋波函数为v_1，第二个电子的自旋波函数为v_2，则v_1与v_2的自旋取向应与两个波包分离前的x_S或x_A有关。
根据两个电子自旋组合态的示意，x_S上标1和2，为沿z轴方向的自旋平行态，上标3为xy平面上自旋平行的组合态。
为了说明x_S上标3为xy平面上自旋平行的组合态，可将z轴旋转至x轴，设对第一个电子的自旋旋转算符为U_1，对第二个电子的自旋旋转算符为U_2，则
设有
则可得
由以上两式可知，新的上标3为两个电子自旋平行的组合态，而新的x_A为两个电子自旋反平行的组合态。
如果两个电子波包分离前为x_S态，则波包分离后的v_1态与v_2态有可能为自旋平行态。如果两个电子波包分离前为x_A态，则波包分离后的v_1态与v_2态有可能为自旋反平行态。具体v_1与v_2是怎样的自旋态尚未确定。
设两个电子波包在分离前处于x_A态，在分离后运动到相距很远时，才对两个电子的自旋取向进行测量，如果认为两个电子波包在分离后，由于全同性原理失去作用，而使得x_A态变为两个单电子的自旋态v_1与v_2，则对v_1与v_2的测量应彼此无关。
如果认为两个电子波包在分离后仍能保持为两个自旋纠缠在一起的x_A态，则对两个电子自旋取向的测量便应彼此有关。当测到一个电子为某个自旋取向时，与此同时应立刻测到另一个电子的自旋取相反的方向，这种现象被称为超距关联。
任何物质由一个有能部分与一个无能部分构成，物质中任何有能部分都有其对应的无能部分，有能部分与其对应的无能部分是一个不可分离的整体。
物质中有能部分的特点是，携带能量，可以屏蔽，具有惯性，最大运动速度为光速c，既可作为有时间通信的信息载体，也可作为传递直接作用的媒体。
物质中无能部分的特点是，不携带能量，不可屏蔽，没有惯性，物质的无能部分只能跟随对应的有能部分做同步运动和变化。
通常物质的有能部分占据的空间范围较小，对应的无能部分占据的空间范围可视为无限大。
一部分物质的有能部分通过其自身对应的无能部分对另一部分物质有能部分的作用为超距作用，超距关联以物质的无能部分作为媒介，不存在与任何媒介都无关的超距关联现象。
非相对论的量子力学更新完毕，至此一共讲了薛定谔方程、力学量算符、表象变换、自旋、全同粒子，一共有五部分内容。其他更多的内容，如果我学到了，随缘再写。
相对论的量子力学更加困难，一节往往相当于前文半章的内容，总共加起来得有前面的三四章。这部分也是随缘更新，完全不定期，也可能最终会断掉。相对论波动方程的开头会从自旋矩阵的代数引出，逐渐表明，非相对论情形的自旋性质，实际是相对论性质在低速情况的某种体现。
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