如图,在平面直角坐标系xoy中,直线y=x/2+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣3/2,且经过A,C两点,与x轴的另一个交点为点B.
(1)求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求四边形PAOC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
考点分析:
二次函数综合题.
题干分析:
(1)先求的直线y=x/2+2与x轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x﹣1),然后将点C的坐标代入即可求得a的值;
(2)设点P、Q的横坐标为m,分别求得点P、Q的纵坐标,从而可得到线段PQ=m2/2﹣2m,然后利用三角形的面积公式可求得S四边形PAOC=S△AOC+S△PAC=2PQ+4,然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值,从而可求得点P的坐标;
(3)根据两个角对应相等得两个三角形相似,可得M1,根据抛物线的对称性,可得M2,根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得关于n的方程,根据解方程,可得答案.
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