经典的九宫格问题
学习数学,不能只满足于知道答案,重点是如何分析、如何推理,九宫格问题的解题过程具有很强的代表性。九宫格问题看似只能去凑,其实每一步的内在逻辑关系清晰分明,是一个非常好的思维训练例题。
第一步,找到问题的切入点。题目没有说,这个相等的和到底是多少,如果能够知道具体值,显然就前进了一步。不难发现,无论采用何种顺序去填,这9个数总和是不变的,易知1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以这个相等的和为45÷3=15。
第二步,观察图形特征,大胆猜想。九宫格本身是一个对称图形,如果说九个格子有一个较为特殊,相信大多数人立即就能指出,是正中央的格子。另外,1至9若排成一行,显然正中央的数是5。因此,我们有理由猜想,5应该居于九宫格正中,不妨先行填入试试。
第三步,分类列举,找出异同。观察剩余的8个格子,不难把它们分为两类,四个角上的格子和四条边中点处的格子。这两类有什么不同呢?显然,角上的格子参与了3次运算,如图中红线所示;边中央的格子参与了2次运算,如图中蓝线所示。2次运算更加容易推算,所以我们不妨从蓝色格子入手。
剩余的两类格子
第四步,分解和式,陆续填入。我们知道,15-5=10,再将10分解成两个整数之和,有1+9、2+8、3+7、4+6共4种分解方法。不妨取第一种分解方法, 1+9,又有两种填入方法,先尝试第一种填法,如下图所示。
错误的尝试
因为9最大,所以考虑15-9=6,6对应的分解方式必然最少,只有1+5,2+4这两种。现在将9填入角上,角上的数会参与3次运算,需要有3种分解方式而不是2种。所以9不能填在角上,只能填在某边的中点,这样就能确定9和1的位置。
正确的位置
按照这个思路,不难陆续填完九宫格,后面的过程就不再详述了,相信读者已经可以独立完成啦。
九宫格问题,看似和数学学习没有多大关系,但是它所体现出的思维方法,却非常值得借鉴。经常进行类似的思考,无疑对学好数学大有裨益。
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